高维样本协方差阵的极限谱性质及应用

The project focus on the probability limiting properties of the spectral statistics of sample covariance matrices and its applications to high-dimensional statistical analysis. We will consider the two cases where the data come from high-dimensional dependent model or high-dimensional time series model. Some limiting spectral properties, which include the limiting spectral distribution, the central limit theorem and the large deviation of spectral statistics, will be considered. At last, we will search for the internal relationship between the spectral properties of random matrices and high-dimensional statistical analysis, and use these limiting spectral properties to solve the high-dimensinal statistical problems.

本项目研究由高维数据生成的样本协方差阵谱统计量的概率极限性质及其在高维统计分析领域的应用。主要考虑高维相依型数据和高维时间序列数据两种情况下样本协方差阵的极限谱分布、线性谱统计量中心极限定理、谱统计量的大偏差等极限谱性质。并寻找这些极限谱性质与高维统计问题的内在联系，将其应用到高维统计问题中，用来解决高维数据分析问题。

本项目主要研究了与高维数据相关的样本协方差阵和其他类型随机矩阵谱（特征根）统计量的概率极限性质及其在高维统计分析中的应用。按照原定研究计划，在少量细节调整的基础上，本项目主要开展了以下几个方面的研究工作，其中包括随机矩阵特征根统计量的精确渐近性；相依型和稀疏型随机矩阵线性谱统计量的中心极限定理；样本协方差阵特征根计数函数的中心极限定理和大偏差性质；一类相依型样本协方差矩阵特征根统计量的普适性以及高维统计回归模型中的假设检验等问题。 . 本项目基本完成了原定计划，其相关成果也进一步丰富了随机矩阵谱性质研究的理论和应用方面的研究成果。