相依型随机矩阵谱统计量的渐近理论及应用

The project is mainly concentrated on the asymptotic theory of the spectral statistics of random matrices with dependent entries and the applications of random matrix theory to high-dimensional statistical analysis. The project mainly contains the following three parts. The first part is to consider the limiting spectral distribution and some universality properties of Wigner matrices and sample covariance matrices when the entries are m-dependent, mixing dependent, stationary dependent or other types of dependent random variables. The second part is to consdier the second-order convergence properties of random matrices with dependent entries, which includes the central limit theorem of spectral statistics, the Gaussian fluctuation of the eigenvalue counting function, the large deviation of spectral statistics and the other universality properties of local spectral statistics. In the last part, we will study the limiting spectral properties of some random matrices which come from statistics and wireless communication. We will also compare the advantages of the existing random matrix methods in high-dimensional statistics. As for some specific high-dimensional statistical problems, we will search for the internal relationship with the spectral properties of random matrices, and then solve the problems by exploring some new methods of random matrix. . The project will further enrich the theoretical results of the spectral properties of random matrices, and also extend the application of random matrix methods in high-dimensional statistical analysis.

主要研究各种相依型随机矩阵谱统计量的渐近理论以及随机矩阵理论和方法在高维统计分析中的应用。主要包括：(1)矩阵元素满足m-相依、混合相依、平稳相依及其他概率意义下相依情形的Wigner矩阵和样本协方差矩阵的极限谱分布和全局谱统计量的其他普适性质。(2)一些特殊相依矩阵谱统计量的中心极限定理、特征根计数函数的高斯波动性、谱统计量的大偏差定理等二阶渐近性质，并建立一些局部谱统计量的普适性定理。(3)研究具有统计或无线通讯学科背景的一些随机矩阵的极限谱性质及其在统计分析中的应用；对现有高维统计中的各种随机矩阵方法进行优劣比较；并针对具体的高维统计问题，研究如何探索和利用随机矩阵方法去解决。. 通过本项目的研究，将会丰富随机矩阵理论研究的理论结果；同时也将进一步拓宽随机矩阵方法在高维统计分析的应用前景。

本项目主要研究了一些特殊相依性随机矩阵谱统计量的概率极限性质及随机矩阵理论在高维统计分析中的应用。按照原定研究计划，在少量细节调整的基础上，本项目主要开展了以下几个方面的研究工作，其中包括一些特殊的相依性随机矩阵谱统计量的精确渐近性、极限谱分布和线性谱统计量的中心极限定理； 特征根计数函数的中心极限定理和大偏差；高维数据特殊结构总体协方差矩阵的假设检验；高维张量型数据矩阵元素最大值的极限分布和高维总体在元素不独立情况下的两样本检验问题。 . 本项目基本按照原定计划开展研究工作，在特殊相依性随机矩阵理论研究方面得到了一些结果。同时在高维样本协方差矩阵中一些重要统计量的极限分布方面也开展了的研究工作。本项目研究成果在理论和应用两个方面都进一步丰富了随机矩阵理论与高维统计分析领域的相关成果。