异方差阵下的高维多样本均值检验

This project aims to investigate tests for high-dimensional several sample mean vectors with heteroscedastic variance covariance matrices. The proposal is made up of two parts. One is to test the Behrens-Fisher problem in high-dimensional data. Another is to test the linear hypotheses on mean vectors. The key points are to improve the power of the tests significantly, weaken the conditions of tests satisfying asymptotic distributions and enlarge the applicable scope of the tests. The analysis of high-dimensional data is an urgent work for statistics. Hence, the project is important both in theory and practice at the age of big data.

本项目研究异方差阵下的高维多样本均值检验问题。研究内容分为两个部分：一是高维数据下多样本Behrens-Fisher问题的检验；二是高维数据下多样本均值的线性假设问题的检验；两部分研究的重点都是使得检验的功效能够得到显著提高，检验服从渐近分布的条件明显减弱，检验的应用范围明显增大。在这个大数据时代，分析高维数据将是统计学的一个主要任务，所以，本项目具有重要的科学意义和应用价值。

统计推断理论研究具有广泛的应用前景，受到人们的广泛关注和重视。随着科技的不断发展，高维数据出现在越来越多的领域。在高维数据下研究统计推断问题具有是近三十年来统计学家研究的热点，也是统计中研究的难点问题。本项目主要研究异方差阵下的高维多样本均值检验及线性模型中参数的容许估计及相关问题。研究内容和结果主要包括：（1）对高维数据下多样本Behrens-Fisher检验问题，基于Chen and Qin(2010)文献中构造统计量的方法，将Schott(2007)中关于MANOVA检验的统计量进行修正，提出了一个新的检验统计量，并给出了新检验的渐近分布。从理论和数值上将新检验和已有的检验进行比较，结果表明新检验在模拟的所有情况下，不仅可以很好的控制名义水平，而且在功效上也有较好的表现。（2）对异方差阵下的多样本均值线性组合的检验问题，基于广义似然函数和Bennett变换方法，提出了一个新的检验统计量，并给出了渐近分布。模拟结果表明新检验比已有的检验更有优势。（3）分别在奇异和非奇异线性模型中研究了共同均值参数及回归系数的线性函数在平衡损失函数下是可容许或泛容许的问题，得到线性可容许估计或线性泛容许估计的充分必要条件，推广了已有文献中的结果。（4）研究了由Levy运动和Levy过程驱动下Ornstein–Uhlenbeck过程的参数估计问题。使用trajectory fitting和加权最小二乘方法，获得估计量的相合性和渐近正态性。（5）研究了退化模型中参数的客观贝叶斯方法，给出了参数的Jeffreys先验和reference先验，得到了相应的后验的性质。最后使用贝叶斯方法分析了两组实数据。. 研究成果丰富和发展了高维假设检验和经典参数估计的理论，促进了其相关领域的发展。