可积系统若干问题的计算机代数研究和理论探索

基于有限维Lie代数、loop代数、屠格式构造新谱问题以及与其相联系的非线性演化方程族机械化算法, 包括连续型和离散型演化方程族机械化算法。并研究所得演化方程族代数几何性质，包括具有Liouville可积、Hamilton结构和可积耦合系统的计算机代数证明。研究谱问题以及与其相联系非线性演化方程族的机械化算法并编制程序包，为自动推理是否合适的谱问题及非线性方程可积性打下理论与技术基础。与此同时非线性演化方程（组）对称问题也是数学、力学及工程中经常遇到的重要问题。在研究新方程对称过程中，会出现新的、大量的超定偏微分方程组，应用吴微分特征列和计算机代数是研究此问题重要工具。编制程序并找到新的对称是解决对称问题的关键，同时也为对称问题奠定理论与技术基础。因此通过本项目研究，不仅使非线性可积系统的算法得到新发展，而且能够促进相关学科间的相互交叉发展，特别是促进微分形式吴方法更进一步发展和广泛应用。

三年来在课题组成员的努力下，发表高水平论文33篇（有基金委课题号61072417标注的），其中被SCI检索23篇，，EI 检索3篇,国内核心期刊3篇,国内一般刊物4篇。在七个方面取得重要进展。1.运用屠格式不仅获得了可积方程的Hamiltonian结构还获得了方程的代数几何解，发表在Journal of Applied Mathematics ，在国内外此一做法尚属首次。2 运用机械化算法获得了一类变系数演化方程的精确解，发表在 Applied Mathematics and Computation 上。 3.运用李超代数获得了超Yang hierarchy及守恒律和自相容源，发表在 Nonlinear Dynamics上。4.运用李超代数获得了分数超可积系统及 Hamiltonian 结构，发表在刊物 Journal of Mathematical Physics 上，在国内外尚属首次。5.运用二次型恒等式获得了分数阶可积系统可积耦合的Hamiltonian 结构，发表在 Journal of Mathematical Physics， 在国内外尚属首次。6．运用吴微分特征列方法研究了古典对称与非古典对称，发表在刊物 Journal of Mathematical Analysis and Applications上，在国内外尚属首次，处于国内外领先水平。7．运用李超代数研究上了两个超可积族和它的超H-结构。这个结果在国内外是最新的。文章题目：Two super integrable hierarchies and their super-Hamiltonian structures，发表在刊物Communications In Nonlinear Science & Numerical Simulation 上。