李超代数上符号计算问题及其在超可积系统中应用

Based on finite-dimensional Lie super algebras and their corresponding loop algebras, we will construct new matrix spectral problems and their associated hierarchies of super nonlinear soliton equations by using the mechanization method and the generalized Tu scheme. We will also single out supersysmmetric soliton equations to extend the supersymmetric soliton theory. Algebro-geometric properties of super soliton equations, including super Hamiltonian structures, symmetry constraints and conservation laws, will be analyzed by using computer algebraic proofs. The mechnization algorithm and diverse software packages are the fundamental tool to study the appropriateness of matrix spectral problems and Liouville integrability of super nonlinear soliton equations generated from the compatibilty conditions of the matrix spectral problems. Moreover, we will adopt the Wu method and symbolic computations to deal with overdetermined parial differential equations, appearing in the study of the symmetry problem of super soliton equations, which is often encountered in mathematics, mechanics and engineering sciences. All theories by computer algorithms and programs in treating the symmetry problem will also form the theoretical and technical foundation for our research. To conclude, through this project, not only new algorithms and theories of super nonlinear integrable equations, inlcuding generalizization of the Wu method of differential form, will be developed, but also interdisciplinary research and collaborative learning will be promoted.

基于有限维Lie超代数和对应loop代数，利用屠格式构造新矩阵谱问题以及相联系的超非线性演化方程族机械化算法。我们将把挑选超对称孤子方程推广到超对称理论上去。超演化方程族的代数几何性质，包括具有超Hamilton结构、对称约束下的有限维可积系统和无穷多守恒律将通过计算机代数的方法给与分析。机械化的算法与多样的软件是研究矩阵谱问题和超演化方程Liouville可积性的重要工具。与此同时超非线性演化方程（组）对称问题也是数学、力学及工程中经常遇到的重要问题。在研究新方程对称过程中，会出现新的、大量的超定偏微分方程组，应用吴微分特征列和符号计算是研究此问题重要工具。编制程序并找到新的对称是解决对称问题的关键，同时也为对称问题奠定理论与技术基础。因此通过本项目研究，不仅使非线性超可积系统算法和理论得到提升，强化多学科间相互交叉，促进微分形式吴方法进一步发展。

四年来在全体成员的努力下，我们已取得较好的研究成果，发表论文30余篇，编制程序一个。项目是把上一个项目从Lie代数推广到Lie超代数、可积系统推广到超可积系统。在五方面项目取得重要进展。一是在可积系统，超可积系统方面取得进展，发表论文20余篇；二是在非线性PDE，分数阶PDE 求解方面取得进展，发表论文 3篇；三是在代数曲线，黎曼面上的代数几何解方面取得进展，发表论文5 篇；四是在 Riemann-Hilbert 问题方面与可积系统结合方面取得进展，已获得Chen- Li-Liu 方程初值问题在半直线上的成果；五是在分数阶差分混沌系统在保密通讯领域中（信息安全）方面取得进展，已完成投出论文3篇，编制软件包一个。其中后三方面的研究是根据国际数学物理进展及国家战略需要而进行调整的。而这三个方面的研究都是有些难度的，比如说代数曲线亏格的研究、Riemann-Hilbert 问题中跳跃矩阵的研究以及混沌系统在保密通讯领域中（信息安全）的研究，都是非常有难度的工作，但研究工作越是困难，都是课题组成员极好锻炼机会，可使博士生更能掌握研究理论与方法。本项目在探索可积系统，超可积系统与代数曲线和黎曼面上的代数几何解问题的研究为我们今后的研究打下了坚实的计算与理论基础。