复杂系统中的非线性矩阵方程及降阶处理

Discussing complicated systems can often be turns to studying the related special matrices and the constraint solutions of nonlinear matrix equations. We will focus on the properties and criteria of special matrices, the solutions (or constraint solutions) and numerical algorithms of nonlinear matrix equations and matrix differential equations in complicated systems, and try to find new methods to promote the development of matrix computation and control theory...The project will focus on researching the following questions: 1) The criteria of large (block) special matrices in complicated systems, especially numerical iteration methods; the impact of iteration methods after reducing order. 2) The eigenvalue distribution and estimation of special matrices and their Schur complements related to complicated systems. 3) The solutions (or constraint solutions) and their properties of nonlinear matrix equations and matrix differential equations based on complicated systems. 4) Reduced order and efficient, reliable and stable numerical algorithms...These problems arise from practical requirements, and involve the deep problems in matrix theory and matrix computation as well. We will use control theory methods, combining with rich matrix theory knowledge and skills such as matrix Schur complement, matrix decomposition, matrix order reduction and parallel algorithm to study and solve the above problems.

许多实际问题中，复杂系统的讨论常常可归结为对相关特殊矩阵问题和非线性矩阵方程约束解的研究。我们将着重探讨复杂系统中的特殊矩阵的性质和判定问题，非线性矩阵方程和矩阵微分方程的求解(或约束解)及其数值算法，力求探索出新方法，以促进矩阵计算与控制理论的发展。..本项目将重点研究以下问题：1）复杂系统中的各类大型(分块)特殊矩阵的判定方法，尤其是数值迭代判定方法；矩阵降阶后对各类迭代算法的影响。2）与复杂系统相关的矩阵类及其Schur补的特征值分布和特征值界的估计。 3）基于复杂系统的大型非线性矩阵方程或矩阵微分方程的求解(或约束解)与解的性质。4）降阶处理和高效、可靠、稳定的数值算法。..这些问题来源于实际需求，同时也涉及到矩阵理论和计算中的深刻问题。我们将利用控制理论的方法，结合矩阵Schur补、矩阵分解、矩阵降阶、并行算法等丰富的矩阵理论知识和技巧，研究和解决上述问题。

在工程和控制中经常出现的复杂系统通常可以归结为特殊矩阵的性质和判定、非线性矩阵方程和矩阵微分方程的求解及其数值解法等数学问题。我们按照项目的预期研究计划、内容和目标,开展了一系列富有成效的研究工作, 在国内外刊物共发表论文15篇，其中SCI刊物15篇，在国际国内相关学术会议上作邀请报告6人次。研究工作所取得的主要成果如下：. 获得了一些新的H-矩阵的判别准则、r-对角占优矩阵和乘积r-对角占优矩阵Schur补的特征值的Gersgorin圆盘和Ostrowski圆盘定理。估计了Nekrasov矩阵的Schur补的Nekrasov对角占优度，提供了几个特殊矩阵的行列式的新界，给出了Nekrasov矩阵的Schur补的逆的无穷范数界的估计。设计了具有良好收敛性的高效、可靠、稳定的降阶求解线性方程组的数值算法。. 获得了离散代数Riccati方程的解及其特征值的新的下、上界，进而讨论了解的存在唯一性条件，并设计了不动点迭代算法。运用特殊矩阵和特征值不等式的性质，得到了连续耦合代数Riccati方程解的上界。利用正定矩阵特征值数值不等式、矩阵偏序和不动点定理，得到了离散耦合代数Riccati方程解的上下界，进而讨论了解存在唯一性，设计了相应的不动点迭代算法。根据指数矩阵和函数矩阵积分的相关性质，利用特征值不等式和多项式不等式，给出了Lyapunov矩阵微分方程解的特征值和与积的一些上下界，改进了一些已有的相关结果。研究了连续代数Riccati矩阵方程解的上界估计，改进了近期已有的结果。进一步将该上界应用于冗余最优控制系统中，当控制输入增加的时候，给出了几个控制器增益减少的条件。. 通过扩展模糊矩阵定义了模糊张量，证明了模糊张量与模糊向量乘积是模糊线性变换，建立了基于模糊张量的广义模糊综合评价模型，提出了广义模糊综合评价算法，为解决多属性群决策为代表的复杂决策系统提供了新方法。. 综上所述，我们按计划保质保量地完成了预定任务。