大规模复杂系统的有限时域模型降阶方法研究

Modeling of complex phenomena often leads to dynamical systems with high dimension in many sciences and engineering fields, such as very large-scale integration (VLSI) systems , control systems, and so on. These models are usually difficult to analyze and simulate directly. Therefore, it is necessary to simplify these models to reduce the requirements during simulation and the difficulty of theory analysis. Model order reduction (MOR) methods are a class of efficient numerical methods to handle large-scale complex systems, and there are many kinds of MOR methods in the past few decades. However, the theory is deficient at present, and it needs further study to improve the accuracy of the reduced order models in the finite time domain. In this end, the project focuses on finite-time MOR methods based on orthogonal polynomials. Combined with finite-time Gramians and balanced truncation, several fast and efficient finite-time MOR methods will be proposed for large-scale linear systems and nonlinear systems, respectively. The resulting reduced models can preserve the physical properties of the original systems and give a reasonable computational error bound in a given time-domain. At the same time, it is hoped that this research will reveal the linkages between the different MOR methods such as balanced truncation, POD and Krylov subspace, and give a general theory of MOR algorithms. While improving the theory of MOR, it also will provide the theoretical basis and technical support for its application in the modeling and analysis of complex dynamical system and other engineering fields.

许多工程应用领域，如大规模电路系统、控制系统等，描述物理现象的数学模型的规模极其庞大，使得对这些系统的直接仿真模拟变得十分困难。因此，有效地降低系统的规模以缩减模拟时间和理论分析的难度显得十分必要。模型降阶是一类处理大规模复杂系统的高效数值方法。目前，模型降阶的发展尚不完善，在有限时域内提高降阶模型的精度有待进一步研究。为此，本项目拟以正交多项式时域分析技术为基础，结合平衡截断理论和有限时域Gramian矩阵，分别针对线性和非线性系统，设计出有限时域模型降阶算法。该算法可以快速高效地解决有限时域模型降阶问题，所得模型可以保持原系统的物理特性，还可以在给定时域内给出合理的可计算误差界；同时，拟通过该研究揭示平衡截断、POD、Krylov子空间等模型降阶方法之间的联系，给出模型降阶算法的一般性理论。在完善模型降阶的同时，也为其在复杂动态系统建模与分析等工程领域中的应用提供理论基础和技术支撑。

许多工程应用领域，如大规模集成电路系统、微机电系统、控制系统等，描述物理现象的数学模型的规模极其庞大，使得对这些系统的直接仿真模拟变得十分困难。因此，有效地降低系统的规模以缩减模拟计算时间和降低系统理论分析的难度显得十分必要。模型降阶是一类处理大规模复杂系统的高效数值方法，其目的就是在某种情况下将一个较大复杂系统转化为一个近似的较小系统，从而降低大规模复杂系统的理论分析难度，减少数据存储量和运算量，加速系统的模拟计算。. 本项目以正交多项式时域分析技术为基础，结合平衡截断理论和有限时域Gramian矩阵，分别针对线性和非线性系统，设计有限时域模型降阶算法。主要的研究内容及所取得的成果包括以下几个方面：. 1.线性系统和二阶系统基于Legendre正交多项式的有限时域模型降阶方法。该类方法利用正交多项式时域分析技术，直接得到系统有限时间经验Gramian矩阵的低秩分解，从而构造近似平衡系统，其有效地避免了大规模Lyapunov矩阵方程的求解，大大地提高了可控性Gramian矩阵和可观性Gramian矩阵的计算效率。. 2.线性系统基于Cross-Gramian矩阵低秩分解的有限时域模型降阶方法。Cross-Gramian矩阵因同时包含系统输入和输出的相关性质，在模型降阶研究中备受关注，基于此，我们在研究内容1的方法基础上，提出了线性系统基于Cross-Gramian矩阵低秩分解的有限时域模型降阶方法。. 3.在经典平衡截断模型降阶方法的基础上，线性系统和双线性系统基于矩阵指数函数Laguerre多项式展开的模型降阶方法。该方法计算高效，具有一定的自适应性。同时，通过该类方法，揭示了平衡截断、POD、Krylov子空间等模型降阶方法之间的内在联系。. 该研究在完善模型降阶理论的同时，也为其在复杂动态系统建模与分析、大规模科学计算等工程领域中的应用提供理论基础和技术支撑。