大型特殊矩阵的降阶和特征值分布

矩阵的分块处理、子矩阵和矩阵Schur补等作为减小问题规模的手段在大型矩阵计算、矩阵方程求解、区域分解技术和预条件方法等许多方面具有重要作用。本项目探讨特殊矩阵降低规模处理的方法和矩阵降阶后对各类迭代法的影响。特殊类型矩阵及其子矩阵和Schur补的特征值分布、奇异值与条件数更精确的估计；（块）对角占优矩阵的子矩阵和Schur补的对角占优"程度"与各类迭代法的收敛性；求解约束矩阵方程和对方程解进行估计；某些特殊类型矩阵及子矩阵和Schur补、各类（块）特殊矩阵的判定，尤其是数值判定方法，并结合并行算法，设计出某些大型特殊矩阵计算中既减小问题规模，又具有良好的收敛性和保持原矩阵结构及性质的高效、可靠、稳定的数值算法等。本项目是计算数学和矩阵理论研究中受到国内外许多科研工作者关注的课题，显示出广阔的前景，具有重大的理论价值和实际意义。

矩阵的分块处理、子矩阵和矩阵Schur补等作为减小问题规模的手段在大型矩阵计算和预条件方法等许多方面具有重要作用。我们按照项目的预期研究计划、内容和目标,开展了一系列富有成效的研究工作, 在国内外刊物共发表论文38篇，其中SCI刊物26篇，在国际国内相关学术会议上作邀请报告5人次。研究工作所取得的主要成果如下：. 获得了γ-对角占优矩阵、双对角占优矩阵和几类块对角占优矩阵的Schur补能保持是同类型的矩阵，研究了几类对角占优矩阵Schur补的对角占优“程度”，以及性质的变化，估计了这几类对角占优矩阵的行列式及其Schur补的特征值圆盘定理，改进了已有的一些结果。进而用Schur补方法，对大型线性方程组的系数矩阵是这几类对角占优矩阵时进行降低规模处理，矩阵降阶后，用共轭梯度法设计数值算法，其收敛速度更快。我们给出了几乎完全非奇异矩阵的双对角分解；得到实k-位势矩阵的结构表征。研究了几类对角占优矩阵矩阵的判定，结合并行算法，设计高效、可靠、稳定的数值判定方法。解决了离散线性系统中一个相似矩阵与原矩阵的特征值与奇异值的公开问题，得到了一个充要条件和相关的数值算法。探讨了某些特殊类型矩阵极其子矩阵和Schur补的特征值分布和特征值、奇异值的不等式和更精细的估计，并将其应用于特殊矩阵类的Lyapunov矩阵微分方程、Lyapunov矩阵方程和代数Riccati方程解的估计，改进了近期的一些结果。获得了Sylvester矩阵方程的极小范数解和对称-反对称最小二乘解。给出了连续和离散耦合代数Riccati方程的解的上下界估计，讨论了离散耦合代数Riccati方程解的扰动，改进了近期的结果。进一步，研究了离散耦合代数Riccati方程解的存在唯一性和不动点迭代算法。. 综上所述，我们按计划保质保量地完成了预定任务。