一类与扩散过程相关的半无界问题的随机解

Diffusion models play important roles in mathematical finance, especially in option pricing. The objective of this project is to evaluate a European contingent claim written on an underlying asset, one typically needs to postulate a diffusion model for the price process of the underlying asset, under some risk-neutral measure calibrated to market data. The diffusion coefficient is allowed to degenerate on the boundary and the lack of linear growth condition. When the diffusion coefficient is locally Hölder continuous with some exponent in (0,1], the stochastic solution is shown to be a classical solution. A comparison theorem is also proved, without linear growth condition on the diffusion coefficient. Moreover, the stochastic solution is the unique classical solution if, and only if, a comparison theorem holds. When the stochastic solution is not smooth, we characterize it as a limit of some approximating smooth stochastic solutions.

扩散模型在金融数学中，特别是期权定价中有着非常重要的作用。本项目主要以随机分析的理论为工具来研究一个指定资产的欧式未定权益，假设指定资产的价格在某一风险中性测度下满足一个扩散模型，扩散系数在边界可以是退化的且不满足任何增长性条件。当扩散系数满足Hölder连续，且Hölder连续指数在(0,1]中，则对应的半无界问题的随机解是古典解。并且在扩散系数不满足线性增长的条件下，推导出半无界问题的比较原理成立的条件。特别地，随机解是唯一古典解，当且仅当半无界问题的比较原理在线性增长函数集合里成立。若半无界问题的随机解不具有古典解的光滑性，我们可以构造一列逼近问题的光滑解解序列来逼近原问题的随机解。

扩散模型在金融数学中，特别是期权定价中有着非常重要的作用。本项目主要以随机分析的理论为工具来研究一个指定资产的欧式未定权益，假设指定资产的价格在某一风险中性测度下满足一个扩散模型，扩散系数在边界可以是退化的且不满足任何增长性条件，我们得到了在减弱的扩散系数条件下，Feynman-Kac公式依旧成立。当扩散系数满足Hölder连续，且Hölder连续指数在(0,1]中，则对应的半无界问题的随机解是古典解。并且在扩散系数不满足线性增长的条件下，推导出半无界问题的比较原理成立的条件。特别地，随机解是唯一古典解，当且仅当半无界问题的比较原理在线性增长函数集合里成立。若半无界问题的随机解不具有古典解的光滑性，我们可以构造一列逼近问题的光滑解解序列来逼近原问题的随机解。本项目计划书中的任务已经完成，投稿到Journal of Mathematical Analysis and Applications，杂志已经对我的文章提出修改意见，于2016年11月修改完resubmit了；并且于2016年在Discrete and Continuous Dynamical Systems Series B杂志上发表了一篇标注了国家自然科学天元基金的文章。