低维流形的systolic几何问题

The research goal of this project is to study some problems of low dimensional manifolds from systolic geometry. The basic notion in systolic geometry is called systole, defined as the length of a shortest noncontractible loop in Riemannian manifolds. Gromov proved that the Riemannian volume of aspherical closed manifolds like n-torus and hyperbolic n-manifolds, is bounded below in terms of systole. The optimal constant in Gromov’s systolic inequality is defined to be systolic volume. In this project, we are going to investigate different aspects for the systole and systolic volume of surfaces and 3-manifolds. We plan to study the relation between systolic volume and various invariants representing topological complexity of 3-manifolds. We want to provide more evidences that if the topology of a 3-manifold is more complicated, then its value of systolic volume is greater. Moreover, the research goal of this project includes related topics and problems: the estimate of systolic volume, the lower bound of mod 2 homology 2-systole, the systolic freedom of mod 2 homology 2-systole. Basic research tool of this project will be methods related to Gromov's filling inequality, hyperbolic geometry, topology of 3-manifolds, minimal surfaces and scalar curvature. New methods to study systolic geometry will also be investigated in this project.

项目的研究目标是探索低维流形中与systolic几何有关的一些问题。Systolic几何的基本研究对象叫做systole，定义为黎曼流形中不可收缩的最短闭测地线的长度。Gromov证明了对于n维环面和n维双曲流形等aspherical的闭流形，在上面定义的每一个黎曼度量所对应的体积都有依赖于systole的下界。一般将这类黎曼体积关于systole的不等式称作是systolic不等式，其中的最优常数是一个同伦不变量（称作systolic体积）。本项目将对曲面和三维流形的systole及systolic体积展开研究。一个主要的研究问题是探索systolic 体积与其它拓扑不变量之间的关系。Gromov指出，systolic体积与可以衡量aspherical流形的拓扑复杂程度的拓扑不变量有依赖关系，例如simplicial体积、Betti数和simplicial height。在本项目中，我们将在Gromov的思想与方法的基础之上讨论三维流形的systolic体积与三角剖分的复杂度 (triangulation complexity) 之间的关系，证实如果三角剖分复杂度（triangulation complexity）的数值越大，则systolic体积的数值也越大。在此基础上，对systolic体积与三维流形的其它拓扑不变量之间关系的讨论是本项目中一个进一步的研究方向。在本项目中，计划的研究目标还包括对systolic体积这一拓扑不变量的研究，例如对不同的低维流形的systolic体积的计算与估计、对一些流形的实现systolic体积的黎曼度量的研究等。项目的其它研究问题包括mod 2 homology 2-systole的下界，三维流形的systolic freedom等。

本项目主要研究低维流形的systolic几何问题，属于低维拓扑、双曲几何和度量几何等基础数学领域的交叉研究方向。在项目执行期间，我们重点关注曲面和三维流形上有systolic几何背景的问题。具体来讲，我们关心三维流形的拓扑不变量与systolic 几何中出现的拓扑不变量之间的联系。在闭黎曼流形上，我们将最短不可收缩的闭测地线长度定义为 systole。Systolic 几何研究与systole相关的各类几何或拓扑问题。特别的，systolic 几何的一个核心问题是研究systole是否可以被包含流形黎曼体积的上界所约束。Gromov在其1983年的论文中对这一问题给出回答，他证明了被称之为essential manifolds的一大类流形上存在systolic inequality，即systole有仅依赖于流形黎曼体积的上界。更进一步，Gromov的工作揭示了systolic不等式与流形拓扑性质之间的紧密联系。项目执行期间，我们在已有研究结果的基础之上进一步探索了对低维流形，systolic几何中出现的拓扑不变量和其它经典拓扑不变量之间的关系。我们研究了systolic体积和表示流形拓扑复杂程度的不变量之间的关系。对于三维流形，我们探索了双曲三维流形的systolic volume和三角剖分复杂度(triangulation complexity)之间的联系。我们在项目执行期间的工作建立在利用双曲几何作为工具研究systolic几何的思想之下。该类问题具有非常高的难度，在相关文献中被认为是systolic几何的核心问题、也是最困难的问题。在高维情形，Gromov建立了Betti数和systolic体积之间的关系。我们对Gromov的这一结果推广到了embolic体积。Berger证明的embolic不等式和systolic不等式是同一类的和曲率无关的几何不等式。根据定义，Embolic体积是embolic不等式中的最优常数，可用来表示紧致流形的拓扑性质。在本项目中，我们还探索了利用systolic体积来对aspherical流形做计数的问题。相关的工作建立在微分几何与双曲几何中一些经典定理和方法的基础之上。