基于辐射传输方程的扩散光学层析成像贝叶斯推断MCMC方法研究

Based on the time harmonic radiative transport equation, the goal of this project is to establish some effective and efficient inversion algorithms for diffuse optical tomography arising from identification of abnormal tissues. We will investigate the reconstruction of some important physical quantities(e.g. the absorption coefficient and scattering coefficient), identification of the boundary of abnormal tissues and evaluating relevant statistical quantities of posterior distribution, etc. Using advanced mathematical theories and methods, as well as a discipline-crossing with mathematics,statistics and biomedical optics, we plan to propose some comprehensive inversion models and inversion algorithms for identifying the abnormal tissues. Motivated by discipline-crossing and the model reduction-based bayesian inference markov chain monte carlo method which is based on the time harmonic radiative transport equation, we aim to develop more novel and powerful inversion schemes. We focus on the issues of further improvements of the efficiency of the model reduction-based bayesian inference markov chain monte carlo method, the precise identification of the abnormal tissues boundary and the evaluation of relevant statistical quantities about posterior distribution in terms of the method. The new theories and algorithms to be formulated, in our view, will be applicable to challenging problems in optical coefficients identification problems in diffuse optical tomography, so the results should represent a innovation and a breakthrough for diffuse optical tomography theory. In addition, the algorithms to be presented will also applicable to abnormal detection problems arising from other inversion filed, therefore they will have a wide practical applicability.

针对生物组织异常体识别中扩散光学层析成像问题，基于时间调和辐射传输方程，开展快速的反演算法研究，研究利用可测量数据反演生物组织吸收和散射系数等重要物理量、识别异常体边界、以及评估后验分布统计量等问题。引入先进的数学理论和方法，通过数学、统计和生物医学光子学等学科的交叉融合，形成较完整的适用于生物组织异常体检测的反演模型与反演算法。本着交叉学科驱动，开发共性高效的反问题新算法，重点研究基于时间调和辐射传输方程的模型降阶贝叶斯推断马尔科夫链蒙特卡洛方法，并研究算法的效率改进、异常体边界的精细识别、以及后验分布统计量估计等问题。所提出的反演的新理论和新算法，可有效解决扩散光学层析成像中光学参数的识别问题，是对扩散光学层析成像反演理论的创新和突破，同时，方法亦适合于其他领域的参数识别问题，具有广泛的适用性。

基于辐射传输方程(RTE)的光学层析成像(DOT)由于可以有效排除偶然因素的影响，提高计算的可靠性和稳定性，并且更符合复杂组织的构造而越来越受到人们的重视。由于数据噪声的存在，以及反演的不适定性，必须采用正则化方法求解。传统的Tikhonov正则化方法，由于会引起重构解的过度光滑，因此对复杂阶跃性组织，以及小的异常等不连续组织的识别十分不利。为此，我们引入稀疏约束和全变差正则化方法，开展基于这两者的光学参数反演理论和算法研究。并在此基础上，探索边界增强机制，实现对复杂生物组织的精细反演成像。..针对基于RTE的DOT光学参数识别问题，为更好地重构形状和边界，引入了边界引导的TV^p稀疏全变差正则化方法，其中0<p<1。由于TV^p极小化泛函的不可微性，为了使TV^p极小化问题数值可求解，引入了Huber函数对l^p范数进行局部光滑化，并采用延迟扩散高斯牛顿法求解Huberlized泛函的极小点，并进行了二维数值模拟。方法在组织异常体的形状和边界识别上相较于传统的Tikhonov正则化，以及非边界引导的全变差正则化方法呈现出优势。..针对DOT中复杂组织边界的精细识别问题，引入了基于非凸非光滑全变差势函数约束的正则化方法，并针对不同的非凸非光滑全变化极小化泛函，给出了相应的适定性的理论证明。考虑到以往的全变差正则化方法一般都是基于某个特定的全变差势函数，以及一族满足条件的势函数对于0-1势函数的近似性，因此在非凸非光滑全变差正则化方法中，引入了双重渐进的非凸高斯牛顿算法，并针对二维DOT吸收系数重构进行了数值模拟。结果表明，非凸非光滑的全变差正则化方法对于边界具有更好的识别能力，实现了对分片不连续介质的精细识别。为了减弱对约束项的光滑性要求，引入了贝叶斯推断，产生了一组收敛于后验分布的采样点，记录了采样数据的条件期望，方差等具有统计意义的结果。