基于贝叶斯观点的分数阶扩散方程反问题研究

This project studies the solution of inverse problems related to fractional diffusion equations based on the Bayesian perspective. Our research contents and objects are as follows. (1) According to the specific characteristics of inverse problems for fractional diffusion equations, we will theoretically analyze the well-posedness and consistency of the conditional posterior probability distributions by means of the regularity of related direct problems. (2) Based on the theory analysis of the conditional posterior probability distributions in Bayesian approach, we will develop fast numerical algorithms for the solution of inverse problems for the fractional diffusion equations by making use of sorts of uncertainty quantification methods developed in recent years. Finally, we will give some numerical examples to illustrate the practicability of the proposed algorithms. The research results of this project will provide a new angle of view for the exploration of the inverse problems for fractional diffusion equations, and be of some theoretical significance in the development of a number of scientific areas such as anomalous diffusion, rheology and viscoelastic mechanics, etc.

本项目旨在研究贝叶斯框架下分数阶扩散方程相关反问题的求解。我们的研究内容与目标是：（1）针对分数阶扩散方程反问题的具体特征，利用正问题的正则性估计，从理论上分析条件后验概率分布的适定性和相容性；（2）基于贝叶斯反演中条件后验概率分布的理论分析，利用近年来发展的各种不确定性量化方法，设计出快速求解分数阶扩散方程反问题的数值算法，最后利用若干数值例子加以验证。本项目的研究结果将提供一个探索分数阶扩散方程反问题的新视角，对反常扩散、流变学以及粘弹性力学等众多科学技术领域的发展具有重要的理论意义。

分数阶扩散方程反问题是近几年来反问题领域中的新问题，该类问题在反常扩散、流变学、粘弹性力学、生物工程和生物医学、图像和信号处理等众多科学技术领域具有广泛的应用。由于分数阶扩散方程反问题固有的非局部性特点给理论分析与数值计算带来了新的困难，正因为如此，近几年来该领域吸引了许多著名数学家与实际工作者从事研究。关于分数阶扩散方程反问题的现有工作主要是在确定性框架下开展研究，侧重点是对误差的最坏情形进行分析，得到的是关于未知量的单点估计或是关于未知量单点估计的定性分析。由于分数阶扩散方程与概率论和随机过程有着密切的联系，研究此类问题的一个自然的方式是从贝叶斯的观点来进行探索。项目负责人在与闫亮和贾骏雄教授的合作下，利用贝叶斯方法同时反演了一个时空分数阶扩散方程的时间导数阶数、空间导数阶数和源函数。借助于函数逼近理论和相关正问题的正则性估计，我们证明了所考虑贝叶斯反问题的良定性和稳定性。在此基础上，利用迭代正则化集合卡尔曼滤波方法给出了未知量的有效数值估计。该工作得到了国际同行的高度认可，相关结果发表于反问题领域的顶级杂志Inverse Problems上。在完成上述主要研究工作的同时，我们还进行了项目以外的其它相关研究，主要有：分析了基于随机替代模型的贝叶斯反问题的收敛性；讨论了一般后验截断正则化方法并成功应用于氦生成扩散方程辐射源识别问题。这两个工作也得到了国内外同行的高度认可，分别发表于杂志Inverse Problems 和 Applied Mathematical Modelling上。