可定义PWR和WFR的秩

本课题的任务是对可定义点集类上PWO和WFR的秩进行比较，期望达到两个目的：.1. 确定准良序秩与良基秩相等与否在各可定义点集类上的分布情况；.2. 给出准良序秩与良基秩相等的充要条件。.这些目标的完成不仅可以揭示PWO和WFR在秩上的差别，还将加深理解点集类定义的复杂度对其上PWO和WFR的结构性质的影响。

本项目的目标是研究可定义集合和PWO与WFR的秩的概念。原计划是探索可定义集合的复杂度与相应不变量之间的联系。..在过去四年中，在自然科学基金面上项目（编号：11171031）在资助下，我们在集合论和递归论两个领域做了如下的工作并取得一些成绩。..在集合论里，项目负责人引入了在奇异基数（尤其是可数共尾度的）上的推广的高阶的度的概念，开辟了了一个联接经典度论里最核心的度的概念和集合论中的大基数概念的新的研究领域。研究成果的主题，大基数越强，那么其相应的标准内模型里某些特定奇异基数上的广义度的度结构就越复杂。这方面更多的细节可以在发表在 JSL 上的文章"Axiom I_0 and higher degree theory"，和第十三届亚洲逻辑会议会议文集中的文章， "Large cardinals and higher degree theory"，中找到。..在递归论方面，参与该项目的第二研究人，国立新加坡大学（NUS）的杨跃教授在此期间发表了三篇文章。一篇是与庄志达和李玮合作的，名为"Nonstandard models in recursion theory and reverse mathematics"，该文总结了最前沿的非标准模型方法在递归论和反推数学中的应用。第二篇是他与庄和Slaman合作的，名为"The metamathematics of stable Ramsey's theorem on pairs"，该文给著名的关于无序对的拉姆塞定理给了完美的解答。该文发表在数学界最好的杂志JMAS上。他最新的工作是与Downey和吴国华合作的，名为"The member of thin and minimal \Pi^0_1 classes, their ranks and Turing degrees"，该文发表在逻辑杂志APAL上。..虽然两位研究人员做的工作表面上看是在不相干的数理逻辑的两个领域，但这些结果都与可定义集合的复杂度密切相连，这与该面上项目原计划背后的主题的完全统一的。..我们的工作得到了国际同行的广泛关注。两位研究人员多次被邀在重要的国际会议上给特邀报告。这期间，项目负责人有三名硕士研究生（目前在研），第二参与人有两名博士生（已毕业，在从事博士后研究）。