时标上动力方程研究及其应用

This project aims to study various qualitative behaviors of functional dynamic equations on time scales and mainly 1. to perfect the theory of almost periodic dynamic equations on time scales; and use these theories to study the existence and stability of solutions, almost periodic solutions,almost automorphic solutions to abstract dynamic equations on time scales; 2. to study the existence of periodic solutions, almost periodic solutions of fractional dynamic equations on time scales and solutions for boundary value problems to these equations; 3. by using fixed point theorems, topological degree theory, variational methods and critical point theory to study the existence and multiplicity of solutions for functional dynamic equations on time scales with various boundary value conditions,especially, to study the existence and multiplicity of homoclinic solutions and heteroclinic solutions; 4.to explore how do the qualitative behaviors of dynamic equations on time scales change with the the graininess of time scales. 5.apply the newly developed theory and methods to study various qualitative behaviers of ecological models, neural network models and economic models on time scales. The research of this project will not only develop the theory of dynamic equations, but also will further extend the own range of applications of nonlinear analysis theory and methods. Hence this project has important theoretical and practical values.

本项目旨在研究时标上的（泛函）动力方程的若干理论及应用问题，并主要研究： 1、 完善时标上的概周期动力方程理论,研究时标上的抽象方程的解、概周期解、几乎自守解的存在性及稳定性等； 2、 时标上的分数阶动力方程的周期解、概周期解的存在性及边值问题解的存在性等。 3、 利用不动点定理、拓扑度理论、变分方法和临界点理论研究带有各种边值条件的时标上的（泛函）动力方程解的存在性、多重性，特别是同宿解、异宿解的存在性、多重性问题。 4、 揭示时标上的脉冲（泛函）动力方程的定性性态是如何随时标的粗细度、脉冲、偏差变元改变的。 5、 应用本项目新发展起来的理论研究时标上的生态模型、神经网络模型和经济模型的各种定性性态。 本相目的研究将不仅发展时标动力方程的理论，还将进一步扩展非线先分析的理论和方法及时标动力方程自身的应用范围。具有重要的理论及应用价值。

本项目旨在研究时标上的（泛函）动力方程的若干理论及应用问题，并主要研究：完善时标上的概周期动力方程理论，建立时标上的动力方程的概周期解、几乎自守解的存在性及稳定性等；研究时标上的动力方程的边值问题；研究时标上的分数阶动力方程的边值问题；研究时标上的脉冲（泛函）动力方程的定性性态；应用本项目新发展起来的理论研究时标上的生态模型、神经网络模型和经济模型的各种定性性态。.本相目的研究不仅发展了时标动力方程的理论，还进一步扩展了非线先分析的理论和方法及时标动力方程自身的应用范围。具有重要的理论及应用价值。.通过本项目的完成，获得了如下的成果：.(1)提出了不要求具全局可加性的几种新的概周期时标的概念，给出了定义于其上的概周期函数、概自守函数等的定义，并研究了其基本性质，作为应用研究了时标上的生态模型和神经网络模型的概周期和概自守解的存在性及稳定性。.(2) 提出了量子时标上的两种概自守函数的定义，研究了其性质，作为应用研究了量子时标上的半线性动力方程概自守解的存在性。.(3) 首次研究了四元数值神经网络模型的伪概周期解问题。.(4)完善了时标上的概周期理论。提出了时标上的几类新的概周期类函数定义。.(5) 建立了时标上的共形分数阶Sobolev空间理论，并用其作为工作空间，应用临界点理论分别研究了时标上的共形分数阶Hamiltonian等系统的边值问题解的存在性和多解性. .(6)建立了时标上的脉冲动力方程、具时滞和脉冲的动力方程解的比较定理研究了时标上的概周期函数的壳理论，建立时标上的脉冲动态方程的Massera型定理等。.(7) 利用重合度理论、不动点理论等研究了分数解方程、时标上的动力方程等的各种边值问题解的存在性及多重性。.(8)利用时标上的Sobolev理论，结合临界点理论研究了时标上的脉冲动力方程、脉冲分数阶微分方程边问题解的存在性及多重性。.(9) 得出了若干具重要意义的生物数学模型、神经网络模型等的周期解、概周期解、伪概周期解、加权伪概周期解、概自守解的存在性和稳定性等。