四元数值泛函微分方程的若干定性研究

Quaternion-valued functional differential equations have important applications in the fields of physics, communication, computer graphics, and neural networks and so on. However, there are few qualitative results about quaternion-valued functional differential equations at present. As everyone knows, almost periodic phenomenon is more widespread than the periodic phenomenon, almost periodicity is an important object in the study of the qualitative theory of differential equations, the almost automorphy is a generalization of the almost periodicity and plays a very important role in understanding the almost periodicity; fractional calculus is a generalization of integer order calculus, fractional order differential equations are very suitable for characterization of materials and processes with the properties of memory and hereditary, which have been become one of the important tools for mathematically modelling complex mechanical and physical process. Therefore, it is of great theoretical and applied value to study the theory of quaternion-valued functional differential equations and fractional quaternion-valued differential equations. The purpose of this project is to study some qualitative theories of quaternion-valued functional differential equations, and mainly research: .1. The existence and uniqueness of solutions of initial value problems and the stability of solutions. 2. The existence of quaternion-valued differential (difference) equations of periodic solutions, anti-periodic solutions, almost periodic solutions and almost automorphic solutions etc. 3. The existence and stability of almost periodic solutions and almost automorphic solutions of fractional quaternion-valued differential equations. 4. Applying the new theory of this project to study the qualitative characteristics of quaternion-valued neural network models.

由于四元数值泛函微分方程在物理、通信、计算机图形学、神经网络等领域均有重要应用。而目前关于四元数值微分方程的定性研究结果还很少。同时，概周期现象比周期现象更普遍，概周期性是微分方程定性理论研究中的重要对象，几乎自守性是概周期性的推广又对理解概周期性起十分重要的作用；分数阶微分方程非常适于刻画具有记忆和遗传性质的材料和过程，已成为复杂力学与物理过程数学建模的重要工具之一。因此，研究四元数值泛函微分方程、分数阶四元数值微分方程的理论具有重要的理论和应用价值。本项目旨在研究四元数值泛函微分方程的若干定性理论，并主要研究：1、初值问题解的存在性、唯一性及解的稳定性等。2、四元数值泛函微分（差分）方程的周期解、反周期解、概周期、几乎自守解的存在性等。3、 分数阶四元数值微分方程的概周期解、几乎自守解的存在性及稳定性。4、应用本项目新发展起来的理论研究四元数值神经网络模型的各种定性性态。

本项目旨在研究四元数值泛函微分方程的若干定性理论，并主要研究：1、初值问题解的存在性、唯一性及解的稳定性等。2、四元数值泛函微分（差分）方程的周期解、反周期解、概周期、几乎自守解的存在性等。3、分数阶四元数值微分方程的概周期解、几乎自守解的存在性及稳定性。4、应用本项目新发展起来的理论研究四元数值神经网络模型的各种定性性态。.本项目的研究不仅发展了四元数值泛函微分方程的理论，还进一步扩展了非线性分析的理论和方法及四元数值泛函微分方程自身的应用范围。具有重要的理论及应用价值。.通过本项目的完成，获得了如下的成果：.(1)在我们前期提出的四元数值概周期函数和几乎自守函数概念的基础上，研究了一系列四元数值微分方程的概周期解和几乎自守解的存在性和稳定性。.(2)提出了Clifford值（伪、加权伪、测度伪）概周期函数和几乎自守函数等的概念，并用直接方法，即不把所考虑的Clifford值微分系统分解成实值系统的方法，研究了一系列Clifford值的微分方程的（伪、加权伪、测度伪）概周期解和几乎自守解的存在性和稳定性。.(3)获得了Besicovitch概周期函数和Besicovitch几乎自守函数的一些重要性质，并分别建立了两类半线性抽象发展方程的Besicovitch概周期和Besicovitch几乎自守解的存在性。.(4)分别研究了利用Bohr性质和三角多项式逼近定义的Besicovitch概周期函数的性质，并研究了两类四元数值分数阶方程的Besicovitch概周期解的存在性和有限时间稳定性。.(5)分别提出了时标上的Weyl和Besicovitch概周期函数概念、分布意义下的Weyl和Besicovitch概周期随机过程的概念，并分别建立了Clifford值随机动态方程的Weyl和Besicovitch概周期解的存在性，并研究了其稳定性。.(6)提出了分布意义下的Besicovitch几乎自守随机过程的概念，并研究了一类Clifford值随机微分方程的分布意义下的Besicovitch几乎自守解的存在性和稳定性。.(7)提出了双测度伪紧几乎自守函数概念，并研究了一类Clifford值中立型微分方程的伪紧几乎自守解的存在性和稳定性。.(8)提出了时标上的伪紧几乎自守函数概念，并研究了一类具时滞的Clifford值动态方程的伪紧几乎自守解的存在性和全局指数稳定性。