时标上非典型形式时滞动态方程的振动性研究

Vibration is one of major dynamic properties of systems. Oscillation theory of delay dynamic equations on time scales are often used for modeling various vibration phenomena arising in the engineering and natural sciences. Analysis of oscillatory behavior of solutions to delay dynamic equations with noncanonical forms on time scales is crucial for applications. The analysis of oscillation of these equations is challenging due to the existence of delayed arguments and noncanonical forms, it is urgent to establish and perfect its system of theories. On the basis of some results for oscillatory behavior of dynamic equations with canonical forms on time scales that I and cooperators have obtained and relative applications of engineering, this proposal aims to establish integral type optimal oscillation criteria for first-order nonlinear functional dynamic equations and integral, Kamenev, and Philos types oscillation criteria for second-order Emden-Fowler neutral delay dynamic equations, second-order half-linear neutral delay dynamic equations, second-order nonlinear delay dynamic equations with damping, and fourth-order delay dynamic equations assuming that the noncanonical forms are satisfied. The results obtained will provide theoretical basis for analysis of qualitative properties of systems. The proposal has important theoretical and practical significance. This project belongs to a new research field of international forward position. Not only this theory unifies the theories of differential equations and difference equations, promotes our understanding to these two theories, but also extends these classical cases to much more general cases by choosing different types of time scales.

振动是系统的主要动力学性质之一。工程和自然科学中出现的许多振动现象往往要用时标上时滞动态方程的振动理论来描述。时标上非典型形式时滞动态方程的振动性分析在应用中尤为重要。由于时滞和非典型形式同时存在，使得其振动研究具挑战性，亟需建立并完善相关的理论体系。基于申请人及其合作者已取得的时标上典型形式动态方程的振动结果和相关的工程应用，本项目旨在建立时标上一阶非线性泛函动态方程的最优积分型振动准则和非典型形式下二阶Emden-Fowler中立型、半线性中立型时滞动态方程，二阶非线性时滞阻尼动态方程及四阶时滞动态方程的积分型、Kamenev型、Philos型振动准则。所得结果为系统的性质分析提供理论基础，具有重要的理论和现实意义。该课题作为当前国际前沿的一个研究领域，不仅统一了微分方程和差分方程理论，促进对微分方程和差分方程理论的认识，而且通过选取不同的时标，所得结果推广了微分方程和差分方程理论。

振荡是系统的具有普遍意义的动力学性质之一。复杂的振荡规律往往通过动态方程的振动与渐近理论进行描述。时滞是自然界广泛存在的一种物理现象；在工程中，如果系统涉及到物质和信息的传输，往往会导致时滞现象发生。时滞动态系统已成为许多领域的重要研究对象，这类系统往往要用时滞微分方程或时滞差分方程来描述。时标理论整合了（统一、推广、离散化）连续与离散分析，促进了微分方程和差分方程理论与应用的发展。新能源发电系统和复杂电气系统皆具高度非线性、连续和离散动态并存、外部扰动频繁等特征，振荡失稳现象时有发生。由于缺乏能明晰揭示和有效抑制这一现象的建模和分析工具，振荡失稳现象愈演愈烈，不仅严重影响供电系统稳定性和可靠性，而且直接阻碍新能源推广应用。. 新能源发电与复杂电气系统振荡失稳现象本质上可归结为高阶、时滞、非线性动态系统的振荡问题。该项目负责人积极开展国际合作，基于相关的工程应用，提出了多Riccati变换技术以及非正则形式下系统的振荡问题，综合应用积分平均技术、比较原理与迭代方法，系统地建立了几类时滞微分方程的积分型、比较型、Fite–Hille–Wintner型、Kamenev型、Philos型等振荡准则判定方法体系，运用时标方法将连续和离散系统振荡纳入统一理论框架，所得结果形成完整的理论，自成一体。该方法体系和理论框架不仅深刻准确揭示了振荡机理，提出了分析和预测控制设计方法，为抑制振荡提供了崭新而有效的工具，而且具有较好保守性和较小计算量，极具工程实用价值。. 应用Navier–Stokes方程研究了长椭球体和扁椭球体中的层流边界层的流动与换热规律，建立了两类球体的热边界层流动方程（边值问题）并通过数学变换创造性地给出了边值条件下的方程解析解；深刻揭示了其中的传热传质规律。. 围绕上述所取得的研究成果，在Int J Heat Mass Transfer、Appl Math Lett、Appl Math Comput、Monatsh Math等期刊发表SCI收录论文10余篇，被控制、人工智能、数学诸领域国际知名期刊引用和正面评价，获山东省高等学校科学技术奖二等奖和淮海科学技术奖一等奖各1项。