KAM理论在偏微分方程及格点模型中的应用

KAM (Kolmogorov-Arnold-Moser) theory as an important tool to study nearly integrable Hamiltonian dynamical systems has long been a concern of many mathematicians. It explains the stability of the planetary system we live in, the motion of a free particle on a slightly deformed surface of revolution. Nowadays, KAM theory has been extensively applied to the study of quasi-periodic solutions of Hamiltonian partial differential equations with unbounded perturbations, such as the existence, stability and growth of Sobolev norms of the solutions, and the study of local solutions of some lattice models. In this project, by using KAM, CWB(Craig-Wayne-Bourgain), Birkhoff normal form, reducibility and other methods and techniques, we will try to solve the following problems within three years: the reducibility of linear partial differential equations with quasi-periodic forcing; the existence of quasi-periodic solutions of partial differential equations with space variable dependent coefficients; the application of KAM theory to some physical lattice models with special forms and some ideal biological population lattice models. Through these studies, we hope that we can further enrich the application of KAM theory and gain better understanding of the physical and biological phenomena in dynamics.

KAM(Kolmogorov-Arnold-Moser)理论作为研究近可积哈密顿动力系统的重要工具，长期受到众多数学家的关注。它阐释了人类生存的行星系、轻微形变的旋转曲面上的自由粒子运动的稳定性。如今，KAM理论广泛应用于无界扰动的哈密顿偏微分方程拟周期解的存在性、稳定性、解的索伯列夫范数的增长性，以及一些格点模型的局部解的研究中。 在本项目中，我们将运用KAM、 CWB(Craig-Wayne-Bourgain)、 Birkhoff正规型，以及约化等方法和技巧，力图在三年内解决以下问题：拟周期扰动线性偏微分方程的约化问题；系数依赖空间变量的偏微分方程拟周期解的存在性问题；KAM理论在一些具有特殊形式的物理格点模型和理想的生物种群格点模型中的应用。希望通过对这些问题的研究,进一步丰富KAM理论的应用以及更好地理解动力学中的物理和生物现象。

在各学科交叉相容的研究趋势下，许多非数学学科所关心的问题经过适当的加工，完全可以转化为数学问题。其中，分析特定类型方程的解的存在性、稳定性、适定性等是不可避免的。本项目主要围绕偏微分方程和格点模型两大研究主线，将KAM理论以及相关理论加以灵活运用，从而更好地揭示某些非基础数学学科的热门研究问题的数学本质。一方面，对偏微分方程的研究包括：1、拟周期扰动线性偏微分方程的约化问题，包括KdV方程和薛定谔方程两大类方程，我们利用无穷维KAM理论，通过构建恰当的Sobolev空间以及范数，推广了该类方程的约化方法，同时得到了拟周期解的存在性和稳定性结果；2、变系数偏微分方程的爆破解的存在性问题，我们利用李雅普诺夫施密特约化方法，将Ambrosetti–Prodi型的椭圆问题的研究框架推广到高维对称区域上，证明了Lazer–McKenna猜想的正确性；3、带有扩散项或耗散项的偏微分方程的拟周期解的分支问题，我们证明了扩散和时滞并存的生态模型的Turing-Hopf分支结果，刻画了周期波解的波数、频率、扩散系数等因素之间的内在联系，与物理模型中的靶波、反靶波等实验结果相辅相成，但更具有普适性。此部分内容已完成。另一方面，对格点模型的研究包括：1、Navier-Stokes方程的离散化形式：mKdV方程的孤立波解的Hopf分支结果，刻画了交通流模型的稳定性；2、变系数差分方程的平衡点的稳定性，Moser扭转定理的应用；3、FPU-FK模型的呼吸子的存在性和稳定性。此部分内容正在进一步完善。以上两大方面的研究内容涉及物理学、生物化学、生态学、交通流流体力学等交叉学科，运用的数学工具包括KAM理论、非线性泛函分析理论、定性理论、稳定性理论、分支理论、奇点理论等。另外，所得到的结果可进一步完善，具有一定的应用价值。