有限集上传递关系的个数问题及在刻画模糊关系传递闭包与核中的应用

Computing the transitive closure and transitive opening for a given fuzzy relation has play key roles in a variety of fields such as fuzzy clustering, fuzzy preference structure, fuzzy decision making and etc. Counting transitive relations on a finite set is still an open problem, which is closely to counting partial orders, quasi-orders and topologies, and study on it is a foundational base to construct and compute the transitive closure and transitive opening for a given relation. At first, on the basis of the structural characteristics of transitive relations, a set of special transitive relations are constructed to generate all transitive relations with intersection operation (the intersection of some transitive relations is still a transitive relation), and an algorithm is designed and realized by programming to count them. Then, given an arbitrary fuzzy relation, on the basis of its own structural characteristics and the decomposition theorem of fuzzy set theory, the existence and properties of the transitive opening is discussed, and some special transitive relations are selected to construct its transitive closure and transitive opening. In the end, a new algorithm with lower time complexity is proposed based on the existing algorithms to compute the transitive closure, and an effective algorithm which can obtain the transitive opening directly is proposed, too.

模糊关系的传递闭包和传递核的计算在模糊聚类、模糊偏好结构、模糊决策等中起着关键作用，而研究“有限集上传递关系的个数问题”这个公开问题，不但能推动偏序关系、拟序及拓扑的相关问题的解决，同时，也能为计算模糊关系的传递闭包和传递核奠定基础。本项目首先基于有限集上传递关系的结构特征，构造一组类似线性空间中“基”的特殊传递关系，用其交运算刻画出所有的传递关系（传递关系的交仍是传递关系），设计计算传递关系个数的算法并用计算机实现；然后对于非传递的模糊关系，结合其自身结构特征，基于模糊集理论的分解定理，讨论其传递核的存在性及性质，研究如何从已构造出的特殊传递关系中选择一部分来构造其传递闭包和传递核（有传递核时）；最后结合已有算法提出具有更低时间复杂度的计算模糊关系传递闭包的新算法，以及能直接获得其传递核的有效算法。

模糊关系的传递闭包和传递核的计算在模糊聚类、模糊偏好结构、模糊决策等中起着关键作用，而从整体上研究有限集上传递关系集的结构特征能为计算模糊关系的传递闭包和传递核奠定基础。本项目开展了有限集上传递关系集的刻画和个数问题研究，模糊关系传递闭包和核的构造及算法研究；构造出了一组类似线性空间中“基”的特殊传递关系；利用这组“基”结合交运算，不仅能构造出传递关系，还能从任一关系出发构造出传递闭包、传递核；基于模糊集理论的分解定理，提出具有更低时间复杂度的计算模糊关系传递闭包的新算法，以及能直接获得其传递核的有效算法。除此之外，依托该项目，还对有限集上对称传递关系和幂等关系，模糊变量线性规划的退化问题及参数灵敏度问题，模糊多属性群决策问题和T-S模糊模型的应用问题进行了研究。计算出ｎ元集上的对称传递关系的个数为贝尔数即B_{n+1}；给出了将任意传递布尔矩阵修正为幂等布尔矩阵的方法；提出了一种改进的单纯形法，避免求解退化的决策变量模糊型线性规划问题时陷入循环；定义了两类含参数的模糊变量线性规划，研究了参数与最优基的关系，得到了求解方法和步骤；研究了属性值为犹豫模糊数且决策者对方案有偏好的模糊多属性群决策问题，提出了基于专家对应准则对犹豫模糊集进行标准化处理的方法；提出了一种新的基于区间值犹豫模糊软集的多属性决策方法，并将该方法运用到海洋平台泥浆泵的主要组成部件的重要度评估中，取得了较好的应用效果；引进T-S模糊模型对油田开发动态系统进行非线性建模，不仅能模拟油田开发动态系统，而且具有多输入多输出预测功能，预测精度高。依托该项目，研究人员共发表论文7篇（其中SCI收录3篇、CSCD收录4篇）、录用SCI源期刊论文2篇；培养了硕士生8名（其中4名已毕业，4名在读）；项目负责人到国外大学访学2次，项目组成员参加国内外会议和暑期班5次，邀请外校专家到校交流3人次；超额完成预期研究成果。