可压缩Navier-Stokes-Korteweg方程适定性的研究

One of the basic models in two-phase flow is the Navier-Stokes-Korteweg (N-S-K) equations. It is widely applied in many fields of modern science research and engineering technology, as it can describe effectively the interface phenomena in the two-phase flow. In our project, we will analysis N-S-K equations and focus on the study of its dynamical behavior and mathematical theory, including: (1) the existence and uniqueness of weak solutions to compressible N-S-K equations; (2) the local or global existence of strong solutions to compressible N-S-K equations; (3) the blow-up phenomena of compressible N-S-K equations. In order to study the special dispersion term in N-S-K equations, we intend to combine the method and technique from Navier-Stokes equations with the classical theory in PDE to discovery the deeper information from the N-S-K equations’ structure. The solution of these relevant problems not only has certain scientific significance for development of theories to nonlinear evolution equations, but also provides some new ideas to other related issues in fluid dynamics.

Navier-Stokes-Korteweg（N-S-K）方程是两相流中的一个基本模型。由于它能有效地刻画两相流中的界面现象，所以广泛应用于现代理论研究与工程技术的许多领域。本项目将对N-S-K方程进行分析，着重研究其相关动力学性态和数学理论，包括：（1）可压缩N-S-K方程弱解的存在唯一性；（2）可压缩N-S-K方程强解的局部或整体存在性；（3）可压缩N-S-K方程的爆破现象。针对N-S-K方程所特有的色散项，我们在偏微分方程中经典理论基础之上，同时结合Navier-Stokes方程中的方法与技巧，挖掘方程结构中更深层次的内容。相关问题的解决不仅对非线性发展方程的理论发展有一定的科学意义，而且为流体力学中其他相关问题的研究提供新的思路。

Navier-Stokes-Korteweg（NSK）方程是流体力学领域中非常重要的研究课题之一。它是从两相流的界面现象推导出的模型，其应用涉及自然科学与工程技术的许多领域。该项目着重研究可压缩NSK模型相关数学理论研究，我们解决了下列问题：（1）非单调压力情形下的可压缩Navier-Stokes-Korteweg方程的全局弱解存在性 ；（2）临界条件时可压缩Navier-Stokes-Korteweg--Possion方程的全局弱解存在性 (3) 利用在本课题研究过程中所发现的研究方法，推广到其他可压缩流体模型并得到一些结果