Alt-Caffarelli自由边界问题的正则性与奇异性

本项目研究Alt-Caffarelli自由边界问题的正则性与奇异性理论。1981年，Alt和Caffarelli开始研究泛函"J(v)=v的能量+{v>0}部分的面积"的非负极小，{v>0}部分的边界为自由边界，关于其正则性的研究极其深刻而重要。近30年来，Caffarelli等人奠定了该问题的研究基础，并取得几次重要进展，至今此问题未完全解决。G.Weiss 证明自由边界奇点的存在性等价于带有一个奇点的1次齐性的绝对极小函数的存在性。Caffarelli-Jerison-Kenig于2004年证明：在3维，所有的奇异锥形解不稳定，并猜测这个结果直到6维成立。本项目的研究目的是证明这个猜测。我们拟采取的方法是：用平均曲率流做第一变分，证明自由边界为常平均曲率曲面，然后对自由边界的第二基本型做估计，得到解的对称性，从而使得CJK的第二变分计算可以应用到高维。这样就可以完成该问题的正则性理论。