Markov过程: 从拟遍历性到遍历性

In this project we will study conditional asymptotic behaviors of non-ergodic Markov processes. We will mainly study the limiting distributions and limiting processes of the Markov processes conditioned on certain rare events, via large deviation analysis. The main purpose is to establish connection of objects such as quasi-stationary distributions, quasi-ergodic distributions and quasi-limiting processes, etc., between non-ergodic and ergodic processes. This is an important way for understanding connection between reversible and irreversible processes. The study is also helpful in revealing intrinsic relationships among some important parameters, such as the principal eigenvalue, the decay parameter and large deviation rates, etc., of the non-ergodic Markov processes underconsideration, with the hope to provide effective way for estimating such parameters. The main technique we are goning to employ is change of measure via large devviation analysis, so that we can transform a non-ergodic process to an ergodic one.

本项目拟研究非遍历Markov过程的条件极限行为，主要内容为基于小概率事件条件下过程的极限分布、极限过程等。主要目标是利用大偏差思想建立拟平稳分布、拟遍历分布、拟极限过程等与遍历过程相关概念之间的联系与区别，这是揭示可逆过程与非可逆过程之间联系的重要途径，也有助于揭示过程的一些重要统计特征，包括一些重要参数，如主特征值、衰减参数、大偏差速率等之间的内在关系，期望由此得到这些参数的好的估计。主要方法是通过大偏差分析进行适当的测度变换，转化为对合适的遍历过程的研究。

对遍历Markov过程已有系统深入的研究，并取得了丰富深刻的成果。但非遍历Markov过程也广泛存在于各种应用领域中，而对其研究则远不如对遍历过程的研究那么系统深入。作为这方面的探索，本项目研究了非遍历Markov过程的长时间渐近行为，主要内容包括非遍历Markov过程的条件大偏差理论， 拟平稳性与拟遍历性等。主要成果包括：（1）揭示了非遍历Markov过程拟平稳分布与拟遍历分布的本质区别，这也显示了遍历Markov过程与非遍历过程的重要差异；（2）建立了非遍历Markov过程条件大偏差与拟平稳分布、拟遍历分布之间的内在联系；（3）基于上述结果， 我们'证明了任意有限状态Markov过程都满足大偏差原理, 并给出了相应大偏差速率函数局部机制的刻划，由此可望改进对转移矩阵局部特征值的估计；（4）证明了一类非遍历Markov过程的偏差不等式，使得我们可以尽量准确地估计任意时刻过程与拟遍历分布之间的偏差，而不仅仅是长时间以后的差异。以上研究结果的意义在于为认识非遍历Markov过程与遍历过程之间的本质联系与区别提供了一些非平凡的参考结果。