大规模二次系统的模型降阶问题研究

在研究工程问题时，对问题进行离散化是一种常见、有效的数值逼近方法。但是这样离散化得到后的系统的阶数通常都非常大，给计算机的存储、数值运算、系统控制设计都带来了很大的困难。一种解决这种困难的方法是用一个阶数比较小的系统来近似原来的系统，使得这个小系统能尽可能多的保持原来系统的重要特征，这就是模型降阶问题。由于缺少必要的理论和工具，目前的研究主要集中在线性系统的模型降阶上，对二次系统的模型降阶研究也大都建立在把二次系统转化为等价的线性系统的基础上，而没有充分利用二次系统本身的特殊结构。本项目将首先分析二次系统的结构和特征，然后探讨用较小规模的系统去近似原大规模系统的各种数值方法，寻求既能充分利用二次系统的结构，又能保持原系统所具有的典型特征的数值方法，并建立相应的数学理论。

讨论了两类特殊的二次系统，即螺旋式二次系统和回文式二次系统，的特殊结构和性质, 给出了他们的谱分解，即其特征值和特征向量所具有的特殊结构与性质，以及系数矩阵与这些特征值和特征向量之间的关系。提出了一种针对二次系统的Krylov子空间类型的拟Arnoldi模型降阶方法，这种方法在降阶后模型阶数相同的情况下，能够比一般的模型降阶方法有高出一倍的矩匹配，从而使得降阶后的模型是原模型更好的近似。讨论了二次系统以及更高阶对称系统的鲁棒性部分极点配置问题，给出了两种有效的算法，这些算法的计算结果的精度与已有算法相当，但是所需的运算量远少于已有算法。讨论了螺旋阻尼二次系统的特征值反问题，给出了一种计算螺旋阻尼二次系统的系数矩阵的方法，使得该系统的特征值和特征向量就是事先所给定的特征值和特征向量。