大规模动态系统平衡截断模型降阶中的若干问题研究

Model reduction is an ubiquitous post-processing tool in the modelling of large-scale dynamic systems. Balanced truncation is one of the popular and widely used approaches in the area of system and control. This project is dedicated to solve several existing problems that should be settled urgently. Specifically speaking, 1) In terms of the fundamentals of the supporting algorithmics, we intend to solve the large-scale convex optimization problems with Lyapunov matrix inequalities in a numerically efficient way, hence the applicability of balanced truncation for large-scale complex dynamic systems can be greatly improved. 2) In regard to inward-looking development of balanced truncation, the limited time model reduction of linear time-invariant systems will be addressed. Accordingly, new balanced truncation schemes which enable a priori known estimation of the approximation performance over pre-specified time intervals will be developed. 3) From the respect of outward-looking development of balanced truncation, we will focus on the model reduction of linear fractional-order systems, more general results are expected as the extension of the existing intergal-order balanced truncation. In conclusion, the proposed research will further develop and improve the balanced truncation theory, thereby provide more powerful technical support for modeling,simulating, analysis and synthesis of large-scale complex dynamic systems.

模型降阶是一类大规模动态系统建模过程中必要的模型后处理方法。在系统与控制领域，平衡截断已发展成为一类被广泛应用的主流模型降阶方法。本项目旨在解决目前平衡截断法在其数学算法基础、内涵及外延发展等方面亟待解决的若干重要问题，具体为: 1) 在其数学算法基础方面，拟解决大规模(Lyapunov/Riccati)矩阵不等式约束下凸优化问题的高效数值求解问题，为进一步扩展平衡截断法在大规模复杂动态系统模型降阶问题中的发展奠定基础；2) 在其内涵发展方面，针对线性时不变系统的有限时间模型降阶问题，拟提出可提供给定有限时间区间内暂态逼近性能先验分析的新方法；3) 在其外延发展方面，拟解决线性分数阶系统的模型降阶问题，给出平衡截断从整数阶系统到非整数阶系统更一般性的相关结果。该项目研究工作将进一步发展和完善平衡截断模型降阶理论体系,从而为实际大规模复杂动态系统的建模、仿真及分析综合提供更有力的支撑。

本项目针对复杂动力学系统的模型降阶问题，在平衡截断这一理论框架下开展全方面研究工作，从纵向、横向及其应用等维度丰富和发展了平衡截断模型降阶方法，具体工作如下：.1) 在平衡截断理论的纵向发展方面，建立了在有限时域/频域条件下求解线性系统H2最优降阶模型的理论分析体系，同时提出了一系列降阶模型的生成算法；开发了基于的带有频率参数相关的线性系统有限频域平衡截断模型降阶方法；开发了基于系统极点分布区域保持的线性系统有限时域平衡截断模型降阶方法；针对一类具有可交换性质下的矩阵不等式组求解问题，找到了一类基于共同低秩因子迭代的快速求解算法；针对Lyapunov方程(Sylvester方程)等平衡截断中常见矩阵方程，通过分析其解的Gramian矩阵特性，同时引入Legendre正交多项式作为基底开发了相应的低秩近似解快速求解算法；针对一类带有稀疏结构特性的大规模系统，提出了利用其稀疏特性的平衡截断降阶模型高效生成算法。 .2）在平衡截断理论的横向发展方面，分别针对线性分数阶系统、线性切换系统、线性快周期系统、双线性系统，开发了相应的包括考虑有限频域/时域模型逼近误差性能在内的平衡截断模型降阶方法。.3) 在平衡截断理论的应用方法，针对电力系统、压电换能器、心脏供血系统等典型复杂动力学系统的建模与仿真问题，应用项目组开发的相关理论方法和算法开展了应用研究，取得了良好的仿真效果。