Dirichlet 级数空间上复合算子的若干性质研究

The study on analytic function spaces of Dirichlet series and their composition operators can be traced back to 1990s. And it would seem a good method to insert the central ideas of Functional Analysis into the problems from Number Theory, such as the Riemann hypothesis, which is the original intention of many authors devoting themselves to that theory. Compared with the classical cases on the unit disk, so far, the associated research results about composition operators on spaces of Dirichlet series mainly focus on the boundedness and compactness. Now this project is a study mainly on composition operators on the Hilbert space of Dirichlet series with square summable coefficients, involving Toeplitzness, compact differences and topological structures. Moreover, we shall introduce the Orlicz spaces of Dirichlet series and consider some basic properties of composition operators, such as boundedness and compactness. To some extent, the results will be expected to enrich the theory about composition operators on spaces of Dirichlet series, and promote the application of the basic theory of Functional Analysis in theoretical study of Dirichlet series.

Dirichlet 级数构成的解析函数空间上的复合算子理论起源于上世纪九十年代，诸多学者致力于该理论研究的初衷是借助泛函分析理论为 Riemann 猜想等数论问题提供一条新的研究通道。相比于结论已经非常丰富且研究比较透彻的单位圆上的经典解析函数空间情形，目前有关 Dirichlet 级数空间上复合算子的研究主要涉及有界性和紧性。现在本项目将研究系数平方可和的 Dirichlet 级数组成的 Hilbert 空间上复合算子的 Toeplitz 性，紧差以及复合算子集合的拓扑结构等。此外，还将引入 Dirichlet 级数构成的 Orlicz 空间，并探讨相关复合算子的有界性和紧性等基本性质。预期结果将在一定程度上丰富 Dirichlet 级数空间上的复合算子理论，推动泛函分析基本理论在 Dirichlet 级数理论研究中的应用。

算子理论作为现代数学的重要分支，它与微分几何，动力系统和控制理论，量子力学和信息科学等学科都有着出人意料的联系和相互渗透。特别地，单位圆盘上经典解析函数空间上的复合算子理论已经涌现出许多深刻而优美、丰富而透彻的结论。但是自从上世纪九十年代，Dirichlet 级数构成的解析函数空间上的复合算子才得以广泛研究，诸多学者致力于该理论研究的初衷是借助泛函分析理论为 Riemann 猜想等数论问题提供一条新的研究通道。目前有关 Dirichlet 级数空间上复合算子的研究主要涉及有界性和紧性，并且紧性的完全刻画还未得到。与经典函数空间上类似，本项目研究成果刻画了系数平方可和的 Dirichlet 级数组成的 Hilbert 空间上复合算子的 Toeplitz 性、复对称性和循环性。证明了该 Hilbert 空间上任意两个不同的线性符号诱导的复合算子的非零线性组合是紧算子当且仅当每一个都是紧算子。刻画了有界Dirichlet级数空间上有限个复合算子线性组合的紧性。研究结果在一定程度上丰富了 Dirichlet 级数空间上的复合算子理论，有利于泛函分析基本理论在 Dirichlet 级数理论研究中的应用。