紧流形上Hardy-Littlewood-Sobolev不等式及在曲率方程研究中的应用

Curvature equations play a significant role in the study of geometric analysis. It often can be used to reveal the geometric and topological properties of manifolds. The classical Hardy-Littlewood-Sobolev (HLS) inequality is a basic inequality in analytics, and is the fundamental tool to obtain elliptic estimates in the study of integral curvature equation. HLS inequality plays the important role in partial differential equation, geometric analysis and harmonic analysis, as well as hydromechanics and string theory in physics. In this program, we will establish the HLS inequalities and reversed HLS inequalities on compact manifolds with boundary and reversed Sobolev inequality on n dimensional unit sphere, and discuss the best constants and extremal functions for above mentioned inequalities. As applications, we shall investigate the existence of solutions of some curvature equations. We employ the techniques of blowup analysis or from local to global analysis to prove the integral inequalities. Using the Aubin type inequality and global compact results, and combining the variational methods, we prove the existence of solutions to curvature equations with positive exponent. Based on the reversed HLS inequality and a new global blowup analysis, we prove the existence of solutions to curvature equations with negative exponent. Our results will improve the theories in partial differential equation, geometry and physics, and will provide the theoretical foundations to others related branch of learning. Therefore, this research project has both important scientific significance and research value.

曲率问题在几何分析的研究中有着重要的地位，它能够揭示流形的几何和拓扑性质。Hardy-Littlewood-Sobolev (HLS)不等式是分析学中一个基本不等式，是研究积分曲率方程的基本估计工具，也在偏微分方程、调和分析、流体力学和弦理论等领域具有重要的应用价值。本项目致力于建立带边紧流形上的HLS不等式、n维球面上的逆向Sobolev不等式等，并讨论其最佳常数和极值函数。作为应用，讨论紧流形上相应的曲率方程解的存在性。将通过爆破分析、由局部到整体的分析等技巧建立积分不等式；通过建立Aubin型不等式和全局紧性等结果，结合变分理论等证明正指数的积分曲率方程解的存在性；借助逆向HLS不等式和整体爆破分析技巧研究负指数的积分曲率方程解的存在性。本项目有助于丰富偏微分方程、微分几何和物理学理论等，也将为其他学科相关问题的研究提供理论依据。

本项目主要研究了带边紧流形上的Hardy-Littlewood-Sobolev(HLS)不等式及其最佳常数和极值函数，并讨论紧流形上相应的曲率方程和相联系的方程解的存在性、正则性等问题。这些研究内容在偏微分方程、几何分析、调和分析和物理学等学科中有着重要的研究意义。我们的研究取得了突出的原创性成果。本项目主要研究成果如下：(1)发展新的次临界方法建立了上半空间的逆向HLS不等式和一类新的HLS不等式，并讨论他们的最佳常数和极值函数。为奇异位势算子提供有力的Lp估计。(2)研究了上半空间上具有边界的加权HLS不等式及其极值函数的存在性。并利用这一结果得到上半空间上的p次双调和算子的Hardy-Sobolev迹不等式。(3)建立了带边流形上HLS不等式并利用集中列紧原理讨论极值函数的存在性，对于单位球域上临界情形的HLS不等式，我们克服Blowup带来的困难，利用一种新的归一化方法证明极值函数的存在性。(4)给出上半空间上的对数HLS不等式的证明，并利用移动球面法讨论了极值函数的分类。(5)研究了有界域上积分方程可解性。我们首次介绍HLS不等式和逆向HLS不等式相联系的有界域上积分方程，证明了正指数和负指数情形下积分方程正解的存在性、不存在性和正则性。另外，讨论了正指数和负指数情形下有界域上积分方程的指数从次临界趋于临界时方程的Blowup行为。这些结果为研究积分曲率问题提供重要的理论基础。(6)研究了带有负指数Lane-Emden型积分方程组、具有Poisson核的积分方程组和高阶椭圆方程组解的分类、正则性和正解的不存在性。(7)研究了带奇异权函数的上半空间分数阶Hénon-Lane-Emden方程和单位球域上带有Hardy-Sobolev指数的分数阶Laplace方程和方程组解的径向对称性和不存在性，以及带权函数的半线性分数阶方程组正解的不存在性。(8)研究了一类带有负指数的椭圆方程次临界指数情形下解的存在性，并分析了局部爆破点和爆破点附近的渐进行为。(9)我们利用Lyapunov-Schmidt约化方法研究了带有Hardy项的次临界椭圆问题Nodal爆破解，并讨论了方程解的可能爆破行为。