三维双曲流形的球面CR结构

Spherical CR geometry is the PU(2,1) invariant geometry of the 3-sphere, where PU(2,1) is the CR transformation group. The main purpose of this program is to study the spherical CR geometry of some hyperbolic 3-manifolds, such as the complement of the Whitehead link, the Gieseking manifold and the sister of the complement of the figure eight knot. In detail, giving an ideal triangulation of the manifolds, we will study the representations from the fundamental group of the manifold to PU(2,1) by a geometric method of gluing CR tetrahedra, analysis the discreteness of the representations and discuss if there exist associate spherical CR structures. On the other hand, for the given discrete representation, we will study the spherical CR geometry of the manifold from the view of discrete groups acting on the complex hyperbolic space, which means that to construct the fundamental domain of the discrete group and then consider the topology of the quotient space of the discontinues set up to the group action.

球面CR几何是三维球面在CR变换群PU（2,1）作用下的不变几何，本项目的主要目的是研究一些三维双曲流形（如：Whitehead 链环的补、 Gieseking 流形、类似于八字扭结补的流形等）的球面CR几何。具体地说，给定流形的一个理想三角剖分，我们将通过利用粘合CR四面体的方法来研究三维双曲流形的基本群到PU（2,1）中的表示；分析这些表示的离散性；讨论球面CR结构的存在性。另外，对于已得到的离散表示，我们将从离散群作用于复双曲空间的角度研究三维双曲流形的球面CR几何，即通过构造离散群的基本域，考虑其不连续集在群作用下的商空间的拓扑。

我们主要研究了八字纽结的补及其姊妹流形等三维流形的球面CR结构、复双曲三角群、三维Picard模群及其姊妹群等内容。.为了回答哪些三维流形具有球面CR结构这个问题，我们可以从两个方向进行研究：其一是从复双曲空间的内部，即考虑一个离散子群作用于复双曲空间，若不连续集非空，则该不连续集在该离散子群作用下的商空间将给出一个球面CR流形；其二是从复双曲空间的外部，即给定一个三维流形，考虑其三角剖分在球面CR几何中的实现，从而获得一个展开映射以及与之相容的和乐表示，根据定义，展开映射加上与之相容的和乐表示将给出流形的球面CR结构。一个很自然的观察是两个方向上都离不开三维流形的基本群到复双曲空间等距变换群的表示。.针对方向二，我们研究了八字纽结的补及其姊妹流形的基本群到复双曲空间等距变换群的两个离散的表示。我们证明了对于八字纽结的补的表示是一个球面CR结构的和乐表示，这表明该流形具有球面CR结构；对于其姊妹流形的表示，我们证明其极限集是复双曲空间的边界。我们的结果表明，至少对于三角剖分比较简单的三维流形，方向二是可行的。特别地，该表示实际上是一个三角群，同时还是一个Picard模群的无限次子群。.根据上述发现以及Schwartz的关于具有球面CR结构的三维流形的发现，我们猜测离散的复双曲三角群是否都会给出一个具有球面CR结构的三维流形。基于此，我们研究了复双曲（3，3，n）三角群，其中n是大于4的正整数，我们给出了所有离散忠实的复双曲（3，3，n）三角群，该结果是对Schwartz的一个猜想的部分回答。值得一提的是，当n等于4时，其给出的流形是八字纽结的补；当n等于5时，其给出的流形是一个非紧的三维流形；当n是无穷大时，其给出的流形则是Whitehead连环的补。.此外，我们在复双曲空间等距变换群的离散子群方面取得了一些重要进展。我们研究了三维Gauss-Picard模群。Picard模群是复双曲空间等距变换群中一类重要的算术格，其作用在复双曲空间上的商空间是一个复双曲轨形，依据代数几何的语言，其商空间是Shimura簇。通过考虑群作用于复双曲空间的几何，我们给出三维Gass-Picard模群的一组有限的生成元。这是我们理解高维复双曲算术格的重要一步。