非紧三维流形的球面CR结构与Dehn手术

The main purpose of this project is to study spherical CR geometry, which has close relations with complex analysis and geometry, geometric topology and so on. One of the basic problems in spherical CR geometry is that which three-dimensional manifolds admit spherical CR structures? For this problem, the first main topic of this project is to study the spherical CR structures on some non-compact 3-manifolds, we try to prove that they can have spherical CR structures with discrete holonomies. The second one is to study the Dehn sugery in the setting of spherical CR geometry, in precisely, it is to study spherical CR Dehn surgeries on some non-compact 3-manifolds which admit uniformizable spherical CR structures. The research of this project will promote the studies of spherical CR manifolds, the character variaties and modular space of spherical CR structures on 3-manifolds.

本项目的主要目的是研究球面CR几何，它与复分析和复几何、几何拓扑等有着密切的联系。球面CR几何中的一个基本问题是：哪些三维流形具有球面CR结构？针对该问题，本项目的第一个主要内容是研究某些非紧三维流形的球面CR结构，我们将尝试证明它们具有球面CR结构且其合络表示是离散的。本项目的第二个主要内容是研究球面CR几何中的Dehn手术，确切的说，就是研究某些具有单值化的球面CR结构的非紧三维流形的球面CR Dehn手术。本项目的研究将促进球面CR流形、三维流形的特征族以及球面CR结构的模空间的研究。

本项目的目的是研究非紧双曲三维流形的球面CR结构。令M是一个三维流形，M上的一个球面CR结构指的是一套取值于三维球面S^3的局部坐标卡，其坐标变换是复双曲平面的全纯变换群PU(2,1)中的元素。复双曲平面可以看成是被赋予Bergman度量的复向量空间中的单位球。由于几乎所有的三维流形可以配置双曲结构，自然地，我们可以问：哪些双曲三维流形可以配置球面CR结构？三维流形M上一个单值化的球面CR结构指的是M同胚于商空间D/G, 其中G是PU（2,1）中的离散子群，D是G的不连续集。众所周知，两个著名的双曲三维流形：Whitehead链环的补和八字扭结的补，均可以配置单值化的球面CR结构。而且，两者具有多个不同的球面CR结构。..一个有意思的观察是：这些单值化球面CR结构的合络表示均是复双曲三角群的子群。基于此，我们研究了复双曲三角群。到目前为止，我们主要获得了三个结果。第一个结果是：证明了复双曲（3，n, infinity）三角群是离散忠实的当且仅当某个元素是非椭圆的，其中n是大于4的正整数。该结果回答了在复双曲（3,n,infinity）三角群情形下的Schwartz的一个猜想。第二个结果是：证明了复双曲(4,4,infinity)三角群是离散忠实的当且仅当某个元素是非椭圆的。进一步地，当这个元素是抛物的，该复双曲三角群的二阶子群作用在复双曲平面上的商空间是一个复双曲轨形，其在无穷远处的边界是一个带两个尖点的双曲三维流形s782。这也就表明这个带两个尖点的双曲三维流形s782具有一个单值化的球面CR结构。这个结果提供了一个新的具有单值化球面CR结构的例子。第三个结果是：证明m009具有球面CR结构。..通过对Whitehead链环的补的两个不同的单值化球面CR结果使用不同的球面CR情境中的Dehn手术定理，Schwartz和Acosta证明了对Whitehead链环的做Dehn手术之后的双曲三维流形仍然具有单值化的球面CR结构。因此，我们将继续研究对s782做Dehn手术之后的双曲三维流形的球面CR结构。