群的非交换几何性质及其在Davis流形分类中的应用

Noncommutative geometry uses the theory of functional analysis and operator theory to study problems in other mathmatical areas. New ideas and problems arise along with the develpopement of noncommutative geometry. One of the research spot is the property called the finite decomposition complexity defined by Guentner-Tessra-Yu.This property can be used to study stable Borel conjecture. This project intend to study two kinds of problems related to this property. One is to study what kinds of groups have or do not have this property, especially the Thompson group and Grigorchuk group. These two groups are of great importantance in the research of geometric group theory。They are related to many problems such as Von Neumann conjecture. The other is to study the application of the finite decomposition property. We know that the classification of topological manifolds is a long standing problem in the research of topology. Among those manifolds, aspherical manifolds may be the most important classes. We know little about this kind of manifold yet. M.Davis uses the Coxeter group to build many such manifolds. The classification of those manifolds is still under consideration. Now we can apply the new propertys coming from the noncommutative geometry to study those manifold.

非交换几何是以泛函分析、算子代数的工具来研究其他领域的问题。随着非交换几何的发展，其理论日益丰富，应用日益广泛，产生了很多新的观点和问题。其中Guentner-Tessra-Yu提出的有限分解复杂度性质是一个新的研究热点。这一性质可以用来证明拓扑学中的稳定Borel猜想。本项目希望研究与这一性质的相关的两类问题。一类是哪些群具有或者不具有这一性质，重点研究Thompson群和Grigorchuk群是否具有这一性质。这两个群在几何群论的研究中有重要意义，与Von Neumann猜想等问题相关。一类是这一性质在拓扑学中的应用。我们知道流形分类问题一直是流形拓扑学研究的中心问题。其中非球面流形是重点研究对象。我们对非球面流形了解的很少。M.Davis用Coxeter群的办法构造了一大类非球面流形。这些流形的分类问题至今没有得到解决。用有限分解复杂度这一新的性质可以来研究这类流形的分类问题。

本项目的研究领域是非交换几何领域的粗几何领域。非交换几何是近些年发展比较迅速的数学领域，是泛函分析，算子代数，群论，图论与流形拓扑学的交叉学科。.在粗Baum-Connes猜测的研究中，郁国樑教授证明了此猜想对可粗嵌入到希尔伯特空间的有界几何的度量空间成立。进一步郁国樑教授和Kasparov证明如果度量空间可粗嵌入到一致凸的巴拿赫空间，那么高指标映射是单射。当前的研究基本都集中在粗嵌入到希尔伯特空间，对于粗嵌入到一般的一致凸的巴拿赫空间的成果还很少。我们研究了嵌入到一致凸巴拿赫空间的情况。我们首先给出了一个嵌入到一致凸空间的充分必要条件。由此我们讨论了可粗嵌入到一致凸巴纳赫在距离空间中的并集的保持性。我们证明在一定的条件下，粗嵌入到一致凸空间的性质在取有限并和无限并下保持。然后我们应用这个条件讨论了具体的空间。我们应用这个条件证明了相对双曲群的相对度量的球是可粗嵌入到一致凸的巴拿赫空间如果其子群粗可嵌入。此部分的研究成果已发表。.在后续研究工作中，我们研究了一致Roe代数的刚性问题。由于Roe代数是高指标映射的目标代数，所以Roe代数的性质就成为高指标理论中的重要问题。.我们首先用Roe代数的理想结构理论重新证明了如果两个度量空间的代数Roe代数同构，那么空间本身是粗等价的。其次我们把刚性定理推广到对于不含有非紧的局部不可见的投影算子的一致Roe代数也成立。如果一个扩充图空间可以嵌入到希尔伯特空间，那么这些图的一致Roe代数不含有非紧的局部不可见的投影算子，所以对这些扩充图空间，一致Roe代数的刚性定理成立。我们知道扩充图空间可以不具有性质A，所以我们把Roe代数的刚性定理从具有性质A的空间推广到这类扩展图空间。