含有真的弱几乎周期点系统的动力性状研究

Based on the properties and theories of weakly almost periodic points, we shall study what will happen for topological entropy of the systems with proper weakly almost periodic points, set up the sufficient condition for such systems to have positive topological entropy (if they may have zero topological entropy) and investigate whether the systems are chaotic and what topologically transitive properties the systems should have. Furthermore, we shall study the relationships among topological entropy, chaotic properties and topologically transitive properties for such a class of systems. In general, the systems with proper weakly almost periodic points are complex. The studies of topological entropy, chaotic properties and topologically transitive properties for such a class of systems not only can improve the basic theories of topological dynamical systems and deepen the understanding of weakly almost periodic points but also can offer some new metholds and ideas for our future reaserches. Thus, the studies of topological entropy, chaotic properties and topologically transitive properties for such a class of systems are of important significance in theory and reality.

以已建立的弱几乎周期点的性质和理论为基础，对含有真的弱几乎周期点的系统，研究其拓扑熵的所有可能情况, 建立其具有正拓扑熵的充分条件(如可能为零熵的话)，探索其具有的混沌性状和拓扑传递属性，并研究三者之间的联系。 含有真的弱几乎周期点的系统一般认为是很复杂，对其拓扑熵，混沌性状和拓扑传递属性加以研究，不仅可以完善拓扑动力系统的基础理论，加深人们对弱几乎周期点的认识， 而且可以为以后的研究提供新的方法或思路。 因此对含有真的弱几乎周期点的系统的拓扑熵，混沌性状和拓扑传递属性加以研究具有重要理论意义和实际意义。

弱几乎周期点是拓扑动力系统中的一个重要回复层次，它对刻画一个拓扑动力系统的测度中心起着重要作用。一般地，含有真的弱几乎周期点的拓扑动力系统是比较复杂的。本项目对含有真的弱几乎周期点系统的混沌性质、传递属性、熵等方面进行了较为深入的研究， 得到了一系列成果。本项目首先对两个含有真的弱几乎周期点的具体例子的传递属性和拓扑熵进行了探索，得到其中一个例子是强混合的且具有正熵，而另一个例子不是强混合的且具有零熵；然后对含有真的弱几乎周期点系统的混沌性质进行了深入探索。 首先，引进了两类新的混沌的概念， 即Ergodic混沌和Strongly ergodic混沌，并通过符号动力系统构造出一个例子说明这是两个完全不同的混沌概念。其次研究了满测度中心传递而非极小系统的混沌性状，得到这样的系统是Strongly ergodic混沌的。 本项目最后还研究了具有序列伪轨渐进跟踪性质的系统具有哪些传递属性， 群作用下的系统的thick敏感依赖性的刻画和其他一些传递属性如可分性和弱可分性与Devaney 混沌的关系以及连续动力系统的一类新点的回复层次如何刻画测度中心等问题，分别得到：(1)具有序列伪轨渐进跟踪性质的满测度中心系统是弱混合的； (2) 群作用的弱混合系统是thickly sensitive；群作用下的弱混合M系统是thickly syndetic敏感依赖的；(3) 在连续动力系统中，引入了正上Banach密度回复点这个概念， 并指出该类点的集合的闭包恰好是系统的测度中心。本项目研究所取得的成果对完善弱几乎周期点的性质和深入了解一个系统的测度中心具有重要意义， 对以后继续开展与弱几乎周期点相关的研究具有很好的参考价值。