黎曼-芬斯勒空间形式中的极小曲面研究

Finsler geometry was originally introduced by B. Riemann in his famous “Habilitationsvortrag” in 1854. The rapid progress of Riemann-Finsler geometry has been made after the great encouragement of Professor S.S. Chern. The simply-connected Riemann-Finsler manifolds are called the Riemann-Finsler space froms. Besides the Riemannian space forms, the classification of Randers space forms has been finished by using the method of Zermelo navigation. This project is separated by two parts. The first part is dedicated to find the new minimal surfaces in Randers space forms by using the Ribaucour transformation, and in the second part, some problems on the submanifold theory of Finsler space forms, especially for minimal surfaces in Randers space forms using Zermelo navigation method, will be considered. It will include that how to find more non-trivial minimal surfaces in Randers space forms, how to generalize some rigidity results such as Lawson conjecture and Alanxandov-Bernstein theorem to Randers space forms. It also will include that how to find the integrable conditions for the Riemannian surfaces isometrically immersed in Randers space forms. Moreover, the minimal surface theory of other Riemann-Finsler space forms will also be studied.

黎曼-芬斯勒几何学的研究起源于黎曼在1854年著名的就职演说《论几何学的基本假设》，它经陈省身先生大力提倡，最近若干年蓬勃发展起来。常旗曲率的单连通黎曼-芬斯勒流形被称为黎曼-芬斯勒空间形式。除了黎曼空间形式，Randers空间形式的分类已经通过Zermelo导航技术完成。本项目分为两个部分，第一部分旨在用Ribaucour变换寻找黎曼空间形式中新的极小曲面；第二部分研究芬斯勒空间形式中的子流形的若干问题，特别是用Zermelo导航技术研究Randers空间形式中的极小曲面。其中包括寻找更多的非平凡极小曲面的例子，推广某些刚性定理如Lawson猜想和Alexandrov-Bernstein定理，研究黎曼面等距浸入在Randers空间形式中的相容性条件。另外，其它芬斯勒空间形式中的极小曲面理论也会加以研究。

黎曼-芬斯勒几何学的研究起源于黎曼在1854年著名的就职演说《论几何学的基本假设》，它经陈省身先生大力提倡，最近若干年蓬勃发展起来。常旗曲率的单连通黎曼-芬斯勒流形被称为黎曼-芬斯勒空间形式。本项目旨在发展黎曼-芬斯勒空间形式中的子流形理论。经过三年的研究工作，主要得到Randers空间中子流形平均曲率的简洁公式，在正弯曲和负弯曲的空间形式中首次解得非平凡的极小曲面；刻画了3维Randers空间形式中的常高斯曲率曲面并得到若干刚性结果。发现Randers空间形式和齐性黎曼Berger球中曲面论的联系，在黎曼Berger球中获得了常平均曲率曲面成为Hopf环面的一个刚性刻画。这些结果发表在《Journal of Geometry and Physics》, 《Mathematische Nachrichten》, 《Archiv der Mathematik (Basel)》，《Journal of Mahtmatics and Applications》, 《Nonlinear Analysis, Theory methods and Applications》。这些研究丰富了黎曼-芬斯勒空间形式中的极小曲面理论，但研究难度较大，一些预定问题如芬斯勒极小曲面的整体拓扑性质、黎曼面等距浸入在Randers空间形式中的相容性条件尚在研究过程中。