3-平衡设计及其相关设计

组合设计理论研究的一个基本问题就是确定各种类型的t-设计的构造方法和存在性。二十世纪下半叶以来，人们对2-设计的研究取得了大量成果。然而，当t≥3时，t-设计结构复杂，构作十分困难，目前的已知结果不多。本项目拟在申请人现有研究基础上对若干类型的3-设计展开研究，力争给出新的构作方法，从而扩大它们的存在结果。课题包括3-BD闭集的确定、烛台形3-设计的存在性、可分组3-设计的存在性、斯坦纳四元系的嵌入问题等。这些问题都是近年来国内外组合设计界关注的热点问题，尤其是3-BD闭集的确定和可分组3-设计的存在性问题一直受到国际组合设计界的广泛关注，因此对它们的研究有着重要的理论意义和应用价值。

本项目执行期间研究3-BD闭集的确定、烛台形3-设计的存在性、可分组3-设计的存在性等问题，这些问题都是近年来国内外组合设计界关注的热点。在国家基金的大力资助下获得了若干重要成果，这些成果具有有重要的理论意义和应用价值，受到同行专家的关注。本项目共发表论文11篇，全部被SCI或EI收录。对于3-BD闭集B（4,5,7），我们对已有的确定闭集的方法进行了改进，确定了v=12k+7的情形，结果如下：对于v≡7 mod (12) 且v≠19的所有正整数v，都存在一个S(3, {4, 5, 7}, v). 对v=12k+11的情形，给出了证明其存在性的思路。对于烛台形3-设计和可分组3-设计，由于一些区组长度为4的烛台形3-设计可以通过可分组3-设计来构作，因而在烛台形3-设计的研究中我们也确定了一些组型不一致的可分组3-设计的存在性。针对Hartman和Phelps在他们1992年的综述文章“斯坦纳四元系”中提出的公开问题，即确定组型一致的区组长度为4的烛台形3-设计存在的充分必要条件，我们进行了研究并确定了组型一致的区组长度为4的烛台形3-设计存在的一个必要条件，并且给出了部分存在结果：对所有的n≠2, 6 mod (12)且n≥3，n≠8，都存在一个CQS(g^n: s)，其中g≡0 mod (6)，s为偶数且0≤s≤g.