关于芬斯勒-爱因斯坦流形的若干研究

The study of Einstein metrics is an important branch in Riemann-Finsler geometry. We would like to study the construction and classfication of Finsler-Einstein manifolds. By developping the theory of (alpha,beta)-metrics and generalized (alpha,beta)-metrics, we should construct Einstein metrics in these categories. For some special subcategories, we would like to give some local structure theorems. We also want to construct Einstein metrics via warped product.Besides, we shall study pseudo-Finsler Einstein manifolds which would improve the coorpration of Finsler geometry and physics. We also plan to study some generalized Einstein conditions, such as parallel Ricci tensor and gradient Ricci soliton.

Einstein度量是芬斯勒几何中的重要研究内容，有着重要的数学物理意义。本项目主要研究芬斯勒Einstein度量的构造与分类。通过对（alpha,beta）空间及广义（alpha,beta）空间的研究，来构造这种类型的Einstein度量，并给出某些类别的局部结构定理。通过发展芬斯勒几何中的乘积理论，构造若干新型的芬斯勒Einstein度量。通过对伪（alpha,beta）空间或者b-空间等类似流形的研究，刻画其Einstein条件，并寻求特解及某些类别的详细分类定理。本项目还计划研究推广的Einstein条件，如平行Ricci张量、梯度孤立子。上述研究将大大推动芬斯勒几何的发展，拓展对Einstein度量的认识，促进芬斯勒几何与其他学科特别是理论物理的交流合作。本课题属于国际前沿学科，将会在许多领域有重要应用。

爱因斯坦度量是黎曼几何中的核心课题之一。本项目主要研究的是芬斯勒几何中的爱因斯坦度量问题。完成了alpha-beta度量成为爱因斯坦-道格拉斯度量的刻画，特别地得到了平方度量成为爱因斯坦-道格拉斯度量的充要条件，发现了其黎曼部分的乘积结构，并在此基础上完全写出了其局部结构。另一方面，本项目研究了非道格拉斯型爱因斯坦度量的存在性，给出了存在性定理以及例子。本项目又研究了芬斯勒乘积度量，计算了旗曲率张量，得到了常旗曲率和常Ricci曲率条件下各因子度量需要满足的偏微分方程，进而推广了Bryant关于常曲率的例子，并且构造了若干新的爱因斯坦芬斯勒度量。本项目还研究了推广的爱因斯坦条件，对Randers-Ricci孤立子得到了其方程刻画以及部分几何结果，发现其单参数变换是共形的，并且该Randers度量具有迷向S曲率。