图像处理中非高斯噪声问题研究

Total variation (TV) models play very important roles in variational image processing, the main reason of which is its remarkable edge preserving ability. In addition, some efficient numerical methods were developing very fast in recent years, which makes these models becoming more and more important in practical applications. For Gaussian noise, the study of fast algorithms for TV regularized least squares data fitting image processing tasks is becoming mature. However, many application tasks generate non-Gaussian noise, such as Poison noise, multiplicative Gamma noise, Cauchy noise, and so on. In these cases, data fitting functions are much more complicated than least squares, and the study of theory and algorithms for relevant models is still in its infancy. Besides, the local regularization property of TV makes recovered images suffer from staircasing effect. In order to better preserve image fine details such as textures and geometry structures and to overcome the staircasing effect, nonlocal variants of TV play important roles. In this project, we study theory, algorithms and applications of variational models arising from non-Gaussian noise and nonlocal regularization image processing tasks.

全变差模型在变分图像处理中起着非常重要的作用，主要原因是其良好的图像边界保持能力。另外，近年来一些有效算法的快速发展也使得此类模型在实际应用中越来越受到重视。对于高斯噪声，全变差正则化最小二乘数据拟合图像处理问题的快速算法研究已经趋于成熟。然而，很多应用中产生泊松噪声、伽马乘性噪声、柯西噪声等非高斯噪声。此时，数据拟合函数比最小二乘复杂的多，相关模型的理论与算法研究尚处于起步阶段。此外，全变差模型的局部正则化特性导致阶梯效应。为了保持图像的纹理细节与几何结构、有效克服阶梯效应，非局部全变差正则化起着重要作用。本项目研究图像处理中非高斯噪声非局部正则化相关变分模型的理论、算法及应用。

本项目的研究主题为非高斯噪声图像处理问题的正则化模型、理论与高效计算方法。鉴于全变差正则化模型在高斯噪声图像处理问题中的成功应用，本项目将其拓展应用到非高斯噪声图像处理问题上，包括随机值与椒盐等脉冲噪声、泊松噪声等，相关模型的算法设计与理论分析等。主要研究成果概括如下：(1) 脉冲噪声，又称为异常值或离群数据，本项目针对其特点提出了一种非凸非光滑函数惩罚的数据拟合方法，成功地将统计学中稀疏信号处理的SCAD函数应用于图像处理问题，提出一种TVSCAD模型，将分离变量、罚函数与交替方向等技术相结合，设计并分析了非凸序列凸差算法，利用项目主持人前期开发的求解TVL1问题的交替方向乘子法求解一系列子问题，实现脉冲噪声的去除，同时达到去模糊的效果； (2) 泊松分布的均值为像素点的值，根据泊松噪声的分布函数，并利用极大似然估计的方法，建立了Kullback-Leibler散度数据拟合模型，结合全变差正则化，设计了高效的分裂算法，在泊松去噪及去模糊问题上取得良好的数值效果； (3) 为了更好地理解交替方向乘子法在非凸问题上的良好数值表现，本项目设计了一个针对非线性等式约束问题的交替方向乘子法计算框架，利用固定点迭代的收敛性理论分析并建立了其局部线性收敛速度；该统一框架涵盖了大量的现有算法，如经典的增广拉格朗日乘子法、交替方向乘子法、固定步长梯度法、Gauss-Seidel迭代法、SOR超松弛迭代法等；因此，所发展的理论是现有算法收敛性理论的综合与拓展；(4) 针对多阶段随机优化问题，建立了Progressive-Hedging (PH) 算法与交替方向乘子法之间的等价性，并提出了随机PH方法，可极大地减少算法的单步计算量，加快算法收敛速度；(5) 运用性能评估理论，建立了经典邻近点算法对于最大单调算子包含问题的紧的次线性收敛率，所得理论结果是不可以被进一步改进的；(6) 双线性鞍点问题是图像处理中众多问题统一的数学模型表达，我们设计了基于凸组合的黄金比率原始-对偶算法，并在适当的条件下建立了非渐近次线性与线性收敛速度，在算法设计理念与最优性度量函数的选择方面具有较好的创新性。项目研究成果不但能够处理脉冲噪声与泊松噪声，而且所提出的模型与算法设计思想具有很好的可扩展性，有助于求解更多的相关信号与图像处理任务，如机器学习中的分类和回归问题等。