L2方法在复几何与辛几何中的应用

This project aims to develop the L2 theory due to L.Hormander, J.Kohn and C.B.Morrey which is established for the d-bar operator in SCV, and use it to attack important problems concerning entire/pseudo holomorphic curves in complex and symplectic geometry. One of the fundamental questions in the deformation theory of pseudoholomorphic curves is to find criteria for transversality. As pointed out by Professors Mucduff and Salamon, in their monographs and papers, there are no effective method to establish transversality criteria in higher dimensional case. The deformation theory of pseudoholomorphic curves is governed by the so-called real Cauchy-Riemann operators(which are not the usual complex Cauchy-Riemann operators), we want to establish the Hormander－Kohn－Morrey theory for this kind of systems of PDEs, then we will consider applications to transversality criteria and super-rigidity of pseudoholomorphic curves, we also hope we will be able to find interesting applications to the study of entire holomorphic curves in complex manifolds(geometric hyperbolicity).

我们计划进一步发展L.Hormander, J.Kohn, C.B.Morrey等人在多复变函数论中建立起来的关于经典柯西－黎曼算子的L2方法，并用来研究复流形/辛流形中的整/伪全纯曲线。建立伪全纯曲线横截性的判据是关于伪全纯曲线形变的基本问题之一。著名辛拓扑学家D.Mcduff和D.Salamon在多个文献、专著中明确指出：在高维近复流形中，现在还没有一个有效的方法建立关于伪全纯曲线自横截性的判据。伪全纯曲线的形变问题的研究可以归结为研究一类实Cauchy－Riemann方程组(一般不是通常的复Cauchy－Riemann方程组)，我们计划对这类方程组建立Hormander－Kohn－Morrey理论并进一步研究辛流形中伪全纯曲线的自动横截性与超刚性猜想, 以及复流形中整全纯曲线(几何双曲问题)。

这个项目是希望发展L.Hormander, J.Kohn, C.B.Morrey等人在多复变函数论中建立起来的关于经典柯西-黎曼算子的L2方法，并用来研究相关的几何应用。在项目执行过程中我们完成了预期目标，主要包括：通过建立Dirac型算子的L2理论系统研究了辛流形中伪全纯曲线的自横截性问题并给出研究一类Dirac型算子特征值估计的新方法；把L2方法中的奇异度量方法引入到复流形中全纯曲线的研究中，我们引入一类刻画除子奇性的指标建立了新的亏量估计并在丢潘图逼近理论中取得应用；课题组成员在几类预定曲率问题中取得系统研究成果。