分数阶微分方程的对称群研究

Because the fractional differential equations can better discribe the hereditary and memorability of the system, the application range of the fractional equations is becoming wider and wider. The fractional differential equations have drawn more and more attention from experts. Based on the urgent need of solving the fractional differential equations and the popularization and application of the symmetry theory, this project discusses the symmetry of the fractional differential equations. The main contents include: 1) We generalize the methods studying the integer order differential equations and complete the applications of the nonclassical method and the generalized direct method on the fractional differential equations; 2) We extend the theory of the optimal system of group invariant solutions of integer order differential equations and study the optimal system of group invariant solutions in the fractional differential operator; 3) By using the higher optimal system of group invariant solutions, we study the symmetry reductions of the higher dimensional fractional differential equations; 4) We give the symmetry classification of some fractional differential equations by using the classical Lie group mehtod. By the completion of this subject, we will broaden the range of the application of the symmetry method, and provide the application infrastructures for the classification, optimization, reduction and solving of the fractional differential equations.

因为分数阶微分方程能更好地描述系统的遗传性和记忆性，其应用范围不断扩大，分数阶微分方程引起越来越多的专家关注。基于分数阶微分方程求解的迫切需要和对称理论方法的推广应用，本课题讨论分数阶微分方程的对称群研究。主要包括：1) 推广整数阶微分方程中的方法，完成非经典方法和推广的直接方法在分数阶微分方程中的应用技术研究；2) 把研究整数阶微分方程群不变解的最优系统理论推广到分数阶微分方程中，在分数阶微分算子下，研究分数阶微分方程群不变解的最优系统；3) 利用群不变解的高维最优系统对高维分数阶微分方程的对称约化问题探讨；4) 利用经典李群方法，完成某些分数阶微分方程的对称群分类。通过本课题的完成，拓宽对称方法的应用范围，为分数阶微分方程的分类、优化、约化和求解提供应用基础。

分数阶微积分已发展成为一个重要的数学分支，因为分数阶微分方程能更好地描述系统的遗传性和记忆性，其应用范围不断扩大，分数阶微分方程引起越来越多的专家关注。基于分数阶微分方程求解的迫切需要和对称理论方法的推广应用，本课题讨论了分数阶微分方程的对称群研究。按照年度计划，本课题完成了以下内容：1) 归纳总结经典李群方法在分数阶微分方程中的应用步骤，通过对含有任意函数的分数阶微分方程的对称分类，验证此方法的有效性；2) 把研究整数阶微分方程群不变解的最优系统理论推广到分数阶微分方程中，在分数阶微分算子下，研究分数阶微分方程群不变解的最优系统；利用群不变解的高维最优系统对高维分数阶微分方程的对称约化问题探讨；3) 推广整数阶微分方程中的方法，完成非经典方法和推广的直接方法在分数阶微分方程中的应用技术研究；4) 通过本课题的完成，拓宽对称方法的应用范围，为分数阶微分方程的分类、优化和求解提供应用基础。本项目预定的研究目标基本完成，对于每部分研究内容都给出了完整的技术路线。