Lévy型算子的内在U-超压缩性

The intrinsic ultracontractivity of semigroup, which is connected with the spectrum theory of the operator and the potential theory and the ergodicity of the corresponding process, is very important in Probability and functional analysis... This project aims the intrinsic ultracontractivity for Lévy-type operators with perturbation and the properties of the solution of stochastic differential equation by the corresponding Lévy process. First, by proving some functional inequalities and the intrinsic ultracontractivity for stable(-like) processes with (non-)local perturbation, the general framework for the activity of perturbation in intrinsic ultracontractivity shall be constructed. Second, we shall apply it for the solution of the stochastic differential equations with boundary conditions by Lévy process.

半群的内在U-超压缩性在概率论和泛函分析中具有重要的地位，与算子的谱理论和随机过程的位势理论及遍历性有密切联系。.. 本项目拟研究带扰动的Lévy型算子的内在U-超压缩性及其相关的随机微分方程解的相关性质。主要研究两方面问题:(1)通过研究区域上带局部或非局部扰动的稳定或半稳定过程的泛函不等式及内在U-超压缩性，建立带扰动的Lévy型算子内在U-超压缩性的一般分析框架;(2)通过Lévy型算子的内在U-超压缩性研究由Lévy过程驱动的带有边界条件的随机微分方程解的性质。

半群的内在U-超压缩性在概率论和泛函分析中具有重要的地位，与算子的谱理论和随机过程的位势理论及遍历性有密切联系。..本项目主要研究内容为Lévy型算子的内在U-超压缩性及其相关的随机微分方程解的存在唯一性和性质。所得到的结果包括.(1)有界区域上带非局部扰动的布朗运动和α-稳定过程转移半群的内在U-超压缩性,.(2)由柱状α-稳定过程驱动的随机偏微分方程的解的存在唯一性、遍历性及平均化原理。.所得到的结果在一定程度上推广了之前已有的一些结果，同时其中一些技巧（例如布朗运动带非局部扰动下的转移密度严格正的证明）非常有益于这类扰动下相似问题的证明。