Einstein Yang-Mills 黑洞的稳定性与非稳定性

The stability of black holes and the cosmic censorship conjecture have been promoting the development of Mathematical General Relativity and intensively studied. With respect to this trend, we present the Einstein Yang-Mills model(EYM). With spherical symmetry, EYM is still dynamical, which would be favorable for mathematical study and it is also a physical model. Based on the numerical study in physics, we will investigate the formation of black holes and nonlinear stability for EYM. Reissner-Nordström and Schwarzschild black holes are both spherical symmetric solutions of EYM. We will present different initial data, detect the formation of these two black holes separately and prove the global existence of EYM in the exterior. Furthermore, we will prove that under spherical symmetric perturbation, the spacetime will finally decay to Schwarzschild black hole. Moreover, we will make use of the Morawetz estimate to calculate the decay rate. Besides, the relation between the final Bondi mass and initial Bondi mass will also be investigated. This project will contribute a lot to understand the puzzle about formation and stability of black holes.

黑洞的稳定性与Cosmic Censorship假设一直是推进数学广义相对论发展的重要动力与研究热点。本项目围绕这两个世界性前沿问题，提出Einstein Yang-Mills模型(EYM)。在球对称假设下，EYM仍具有动力学行为，既方便数学上的探索又有客观物理意义。本项目以物理中数值实验为基础，探索球对称EYM下黑洞的形成机制与稳定性。Reissner-Nordström黑洞和Schwarzschild黑洞解均是EYM的特殊球对称解。我们提出不同的初值条件，分别探测两类黑洞的形成，并证明EYM在黑洞外部的整体存在性。进一步，我们考虑Schwarzschild黑洞在该系统下的稳定性，并且构造Morawetz估计获得衰减速度。此外，我们将研究最终形成的Schwarzschild黑洞质量与初始黑洞质量之间的关系。通过本项目的探索，将促进对黑洞形成与稳定等经典难题的解决。

数学广义相对论中的一个基本重要的问题是Kerr黑洞时空的非线性稳定性。这一直是推进数学广义相对论发展的重要动力，也是当今国际研究热点问题。本项目的研究内容正是基于这个背景，展开了对Schwarzschild黑洞时空的线性稳定性和Einstein-Yang-Mills黑洞时空的非线性稳定性。主要研究成果：证明了Schwarzschild时空度量的线性扰动方程Regge-Wheeler和Zerili方程的Morzwetz衰减估计，并得到更高的逐点衰减估计。这个结果简化了之前Schwarzschild时空线性稳定性的证明。我们得到的估计对后来实现证明Kerr黑洞时空的线性稳定性起到关键性作用，并有利于推动其非线性稳定性的证明。另外，我们证明了Milne宇宙模型在Einstein-Klein-Gordon方程下的非线性未来稳定性。 这一研究成果为引力耦合所有带正质量或正电荷的物质模型提供了方法，并且激发了这一片领域的诸多研究成果。在技术上，我们的方法为处理lapse衰减弱的非线性问题提供了可行的办法。最后，我们证明了任意维De Sitter时空在Einstein-Yang-Mills方程下的非线性未来稳定性。尤其是，我们的方法突破了四维共形不变性的限制，可以做到任意维。另一方面，我们的方法是基于协变导数形式的双曲系统的研究，这对研究弯曲时空（不仅仅局限于平坦时空或者空间平坦时空）高度非线性问题提供了非常高效简洁的方式。