Bose-Einstein凝聚体中暗孤子的横截不稳定性研究

By applying the combined method of theoretical analysis and numerical simulation, we develop and apply the related theories about nonlinear dynamical system to study the dynamics of dark solitons in Bose-Einstein Condensates( BEC). The main contents include as follows:(1)Develop the variational method, the variational approximation theory, perturbation theory and asymptotical analysis theory to study approximation analytical formulae of dark solitons in BEC under external potentials; (2) Apply the bifurcation theory and the stability theory to study the inherent transverse instability of dark solitons in BEC, and to obtain a serialized critical parameter expressions and parameter criteria of the transverse instability of multi-dimensional dark solitons;(3)Use numerical computation and simulation to verify the theoretical results and obtain the applicable methods for controlling and manipulating the transverse instability of dark solitons in BEC; (4)Propose and analyze the corresponding techniques for the experimental study of BEC, based on the theoretical and numerical results. The results of this proposed research will improve and perfect the relative theories and applications of dynamical system, and provide new ideas and new theories for solving applied differential equations, and impel the theoretical, numerical and experimental study of the transverse instability of dark solitons in BEC in order to speed up BEC's applications in modern science and technology fields such as communication, computers, precise instruments. This is an interdisciplinary project intersected by mathematics and physics. Therefore, this research project has both important scientific significance and research value.

利用理论分析和数值仿真相结合的方法，发展和应用非线性动力系统相关理论，研究新物态Bose-Einstein凝聚体(BEC)中暗孤子的动力学性质， 包括（1）发展变分法和变分逼近理论、扰动理论及渐近分析理论，求解外电势作用下BEC暗孤子的近似解析式；（2）利用分岔理论及稳定性理论，研究BEC暗孤子固有的横截不稳定性，获得高维暗孤子横截不稳定性的系列临界参数表达式及横截不稳定性参数判据；（3）进行数值计算与仿真研究，获得控制和操纵BEC暗孤子横截不稳定性切实可行的方法；（4）根据理论与数值研究成果，设计相应的BEC实验研究方案。项目的完成将促进动力系统相关理论的完善与应用；为求解应用微分方程提供新思想和新理论;推进BEC暗孤子的理论、数值和实验研究，加快储存和传输信息的新物质BEC在通讯、计算机、精密仪器等现代科技领域中的应用。该项目是数学与物理学领域交叉类项目，具有重要的科学意义和研究价值。

一、项目研究背景. Bose-Einstein凝聚体（简称BEC）中暗孤子的产生和稳定性控制对信息的大量储存和处理具有重要作用，对于下一代计算机预期功能的实现具有深远的意义；而且在原子激光、原子钟、原子芯片技术、精密测量和纳米技术等领域都有非常好的应用前景。因此，控制暗孤子固有的横截不稳定性，吸引了国内外众多数学及物理学领域专家与学者的极大关注。. 由于暗孤子拥有无穷背景能量，而且要分离暗孤子与其背景波的动力学行为的效果都非常困难，从而使得研究亮孤子的相关理论，不能用于研究暗孤子的稳定性控制。因而，暗孤子的稳定性研究成果甚少，是现代物理学与应用数学交叉学科研究领域的热点和难点。因此，申请人将“BEC中暗孤子的横截不稳定性控制理论与方法”作为本项目的选题。.二、主要研究内容、重要结果与关键数据.1.发展了变分法和变分逼近理论、扰动理论和渐近分析方法等动力系统理论，结合相应Gross-Pitaevskii方程数值仿真，获得在Gaussian势、光晶格势、Toda格及Newton’s Cradle 型磁调和势等外电势作用下BEC中拟一维、二维暗孤子的近似解析表达式。.2.发展了动力系统稳定性理论和分岔理论，结合相应Gross-Pitaevskii方程数值仿真，获得了上述已有近似解析式的暗孤子的横截不稳定临界波数、临界涡旋数等的解析式，获得操纵BEC中拟一维、二维暗孤子横截不稳定性的方法， 以及可行的BEC实验研究方案。.3.编写了拟一维、二维复偏微分方程、常微分方程数值仿真MATLAB程序、MAPLE计算程序。.4.利用改进或发展的动力系统理论与研究方法，获得生物学、化学及力学等学科领域经典动力系统模型的斑图存在性等动力学性质。.5.本项目组成员在国际重要学术期刊发表论文20篇，其中SCI收录18篇，EI收录2篇。项目主持人以第一作者在SCI期刊发表论文14篇、EI期刊发表论文1篇；以通讯作者在SCI期刊发表论文1篇、EI期刊发表论文1篇。.三、科学意义.上述研究成果的取得为动力系统稳定性研究、求解微分方程、研究数学与交叉学科领域的问题，提供了新思想、新理论和新方法；为控制BEC中暗孤子横截调制不稳定性的实验研究提供了理论依据和实验研究方案，进而将推进BEC的理论研究、数值研究和实验研究，将加快BEC在通讯、计算机、精密仪器等现代科技领域中的应用。