三维切触拓扑，Heegaard Floer同调，和范畴化

Over the last fifteen years, Heegaard Floer homology / contact topology of dimension 3, and categorification are two active fields in low dimensional topology. The former one is in topology, while the later one is in representation theory. This project will mainly study the interaction between the two fields. In particular, we want to apply Heegaard Floer homology and contact topology to construct categorification of quantum sl(1|1). The main tool is Honda’s contact categories over surfaces which are defined by studying contact structures on thickened surfaces. More precisely, our project will include: to formulate Honda’s contact categories in an algebraic way, to discuss its algebraic properties and its relationship with Heegaard Floer homology; to construct categorification of quantum sl(1|1) using contact categories, especially using canonical bases in the contact categories.

最近十几年中，Heegaard Floer同调和三维切触拓扑，以及范畴化是低维拓扑中两个非常活跃的研究方向。其中，前者侧重于拓扑，而后者侧重于表示论。本次申请的项目主要研究两个方向之间的联系，特别是应用Heegaard Floer同调和三维切触拓扑构造量子sl(1|1)以及与其相关的代数结构的范畴化。主要的工具是Honda利用加厚的曲面上的三维切触拓扑所定义的切触范畴。具体的研究内容包括：给切触范畴一个完全代数的定义，讨论其代数性质以及与Heegaard Floer同调之间的关系； 利用切触范畴构造量子sl(1|1)及其表示的范畴化，尤其强调切触范畴中的典范基的作用。

主要的研究内容是给出切触范畴一个严格的定义，包括拓扑的和代数的，并精确描述两种定义之间的关系。进一步利用切触范畴，研究与范畴化相关的代数上的应用，包括无穷维Clifford代数，波色费米对应，分数1/2，以及sl(2)的指数映射等的范畴化构造。其中，无穷维Clifford代数与量子sl(1|1)有着紧密的联系。..一个主要结果是与Honda合作，给出了切触范畴在一般曲面情形的拓扑定义。对曲面是圆盘的特殊情况，我们证明拓扑上定义的加法范畴可以自然的嵌入到代数上定义的三角范畴。这是对拓扑的切触范畴与代数的三角范畴之间关系最精确的刻画。.另一个重要结果是利用切触范畴，在曲面是无穷带状区域的情形，给出了无穷维Clifford代数和波色费米对应的一个范畴化。.作为应用，与Khovanov合作，分别给出了分数1/2，和sl(2)在指数映射下的像的一个范畴化。