叶状结构上正数量曲率问题的一些研究

Foliation is an important topic of mathematics and physics fields, which has attracted broad attention of mathematicians and physicists. This project will use geometry analysis to study positive scalar curvature problems for foliations, including:.(1)The topolpgical restrictions of positive scalar curvature condition for foliations on complete manifolds;.(2)The topolpgical restrictions of positive scalar curvature condition for foliations on incomplete manifolds;.(3)The relations of positive scalar curvature for foliations and manifolds;.(4)Positive energy theorem for foliations..This project aims at profoundly revealing the inference of positive scalar curvature of foliations on the topology of manifolds and positive energy theorem.

叶状结构是数学物理研究领域的一个重要课题，它的相关研究一直受到国内外相关数学物理学家的广泛关注。本项目拟使用几何分析工具研究叶状结构上关于正数量曲率的相关问题，包括：.（1）完备流形的叶状结构上正数量曲率对拓扑的限制；.（2）非完备流形的叶状结构上正数量曲率对拓扑的限制；.（3）叶状结构上正数量曲率与整个流形上正数量曲率之间的关系；.（4）叶状结构上的正能量定理。.本项目旨在更为深刻地揭示叶状结构上容许正数量曲率条件对流形拓扑以及正能量定理的影响。

曲率问题是微分几何里十分重要的问题，它与其他许多几何问题有密切联系。广义相对论用几何框架研究物理问题，其中涉及能量动量等几何量，这和曲率有着密不可分的联系。本项目首先研究负宇宙常数情形下的正能量定理，给出了一般情形下3+1维渐近anti-de Sitter时空的的正能量定理。另外，电磁场的介入会涉及相应的电磁能量动量，本项目研究了带电磁场的3+1维渐近anti-de Sitter时空的正能量定理。叶状结构是微分几何的重要研究对象，本项目还考虑了页是渐近平坦或渐近双曲流形时相应的正能定理，此时需要相应的正数量曲率条件。此外，本项目还研究了Kerr-Newman-AdS时空上周期Dirac解的存在性问题，得到相应的Dirac粒子只有质量很小时才会存在，超过一定质量后要么逃逸到无穷远，要么落入黑洞。