非线性代数孤波系统的可积性与对称性研究

Many important phenomena and principles of fluid dynamics and atmospheric ocean dynamics can be attributed to a wide range of nonlinear models. From the perspective of mathematical physics, we use the integrability and symmetric group method to analyze a variety of algebra Solitary wave model of the atmospheric ocean dynamics and give its exact solutions and explanation of the physical mechanism. The main contents are as follows: 1. Using the Riccati type pseudo-potential theory, we try to find high-dimensional vortex equation of various atmospheric factors and Lax pairs of amplitude control equations. The singular manifold equation and the infinitely high conservation laws are constructed. The integrability and symmetry constraint of the amplitude equations in algebra soliton waves will be discussed by obtained the Lax pairs. 2. The non-local symmetry of the vorticity equation is constructed by the Riccati-type pseudo-potential and the general Painlevé truncation. The non-local symmetric localization is constructed to obtain extended Lie-point symmetric systems. The new solutions are obtained by means of the finite symmetric transformation, and the group invariant solution is deduced from the classical solution by the new symmetry reduction. 3. Effects of nonlinear fluctuation on marine circulation and marine ecology is revealed by analyzing the influence of ocean nonlinear fluctuation on ocean circulation and ocean ecology. The Rossby wave in the atmospheric circulation is analyzed for the theoretical exact solution. The influence of the dispersion relation, propagation velocity, dissipation, viscosity and rotation effect on the atmosphere is studied.

流体力学与大气海洋动力学中的很多重要现象与规律都可归结为大范围非线性模型。本项目从数学物理角度，利用可积性与对称群方法解析地研究大气海洋动力学中的各种代数孤波模型，给出其严格解与物理机制解释。主要内容有：1、利用Riccati型伪势理论，系统构造各种大气因素的高维位涡方程，寻求振幅控制方程的Lax对，探索奇异流形方程与无穷多守恒率。通过已获得的Lax对，研究代数孤波中振幅方程的可积性及其对称约束。2、由Riccati型伪势和Painlevé截断展开构建涡度方程的非局域对称，并将其局域化，得到扩展的Lie点对称系统，进而通过有限对称变换从旧解寻找新解，并通过新的对称约化，由平凡解推导模型的群不变解。3、针对理论精确解分析大气环流中的Rossby波，研究频散关系、传播速度、耗散、粘性、旋转效应等对大气的影响，揭示海洋非线性波动现象对海洋环流以及海洋生态的影响。

代数孤立波在具有密度跃变的大深度流体中，当扰动尺度接近于密度急剧变化的尺度时，或在不同深度流体中剪切流不连续时，会出现这类特殊形式的孤立波，而经典孤立波通常是浅水波，为了研究深水波模型的物理机制以及海洋大气动力学性质，代数Rossby 孤立波越来越被人们重视。本项目主要研究了三类代数Rossby波模型，新的三维代数孤波ZK-BO方程、三维Schamel-KdV方程与新的时间分数阶BO模型。利用摄动展开式和时间和空间的伸缩变换，得到了Rossby孤立波，运用试验函数法，给出了ZK-BO方程的精确解；在Schamel-KdV方程方面，将整数阶三维Schamel-KdV方程转化为时空分数阶Schamel-KdV (TSF-Schamel-KdV)方程，为了研究离子声孤波的性质，利用李对称分析方法讨论了新的时空分数方程的守恒定律，并利用Hirota双线性方法研究该方程的多孤子解；在新的时间分数阶BO方程方面，根据半逆法和Agrawal方法，应用李群方法和黎曼-刘维尔分数阶导数讨论了新的时间分数BO方程的守恒定律，运用双线性理论求得多孤子解，并研究孤子解之间的相互作用，得出代数孤立波的传播过程和特性随着分数阶的变化而变化。同时研究了两类流体力学方程Euler方程和Navier–Stokes方程，研究了Euler方程对称约化，给出其孤子解，讨论了Navier–Stokes方程的贝克隆变换，分别通过图解给出了相关解的结构与性质；同时运用达布变换经典理论，研究了多个可积模型和带扰动耦合可积AKNS方程的孤子解。.本项目共公开发表密切相关的文章10篇，基金号都是第一标注（见成果部分），这些理论成果将定性或定量的解释飓风、海啸等一些自然现象，给出相应的实验现象和观测结果，揭示海洋非线性波动现象对海洋环流以及海洋生态的影响。