偏泛函微分方程的高余维分支及时空动力学研究

High-codimensional bifurcation and spatio-temporal dynamics in partial functional differential equations is now developed as an important branch of nonlinear dynamics. This project will focus on this subject, mainly including Turing-steady state bifurcation and Turing-Hopf bifurcation. We consider how delays, diffusion coefficients and other parameters affect spatio-temporal patterns of solutions and how to control the dynamics of a system through varying some critical parameters. The goals are to consummate the normal form theory of some high-codimensional bifurcation and obtain the associate unfolding system, the simplified method for deducing them and, formulations of the normal forms, which will help to explain the new phenomena caused by spatio-temporal bifurcation of periodic orbit or torus, homoclinic or heteroclinic bifurcation, and to reveal the mechanism of spatial resonance behavior, uperposition patterns and spatio- temporal periodic and subharmonic patterns. Partial functional differential equation is infinite dimensional system and may give rise to quite rich dynamics. Moreover, high-codimensional bifurcations could also induce complicated dynamical behaviors, such as stable quasi-periodic orbits, and homoclinic or heteroclinic orbits, that are inhomogenous in both time and spatial variables. Establishing and improving the corresponding theory on this topic will not only enrich the theory of differential equations and dynamical systems, but also promote the development of topology, algebra, functional analysis, computational mathematics and other related subjects.

偏泛函微分方程的高余维分支是非线性动力学研究中重要而处于起步研究阶段的问题。本项目主要研究Turing-steady state分支、Turing-Hopf分支等高余维分支，研究解的时空模式如何随时滞、扩散系数及其它系统参数的变化而变化，进而考虑如何利用其可控参数控制系统的动力学行为。主要目标是完善高余维分支的规范型理论，给出规范型的开折形式及公式化结果，解释其伴有的时空周期轨分支、环面分支、同宿异宿分支等带来的解轨道的新现象，揭示实际问题中出现的空间谐振、空间叠加以及时空周期和时空分谐波模式产生的机理。偏泛函微分方程是无穷维系统，其动力学行为非常丰富，分支的高余维数更是导致了动力学性质的复杂性，如出现兼有时间和空间不均匀的稳定的拟周期轨和同宿、异宿轨等。建立和发展阐明这些行为机理的理论，不仅可以丰富微分方程和动力系统自身的理论，也可能推动拓扑、代数、泛函分析及计算数学等相关学科的发展。

偏泛函微分方程的高余维分支研究是非线性动力学研究中的重要组成部分。本项目主要通过研究偏泛函微分方程的Turing-Hopf分支、Hopf-Hopf分支、Bogdanov-Takens分支以及Turing-Turing分支等高余维分支，揭示一些具有空间谐振、空间叠加以及时空周期和时空分谐波特点的新形态解产生的机制。在以时滞、扩散系数、非局部作用强度等系统参数形成的参数空间中描述出了使得常值平衡解失稳的第一分支临界线，它由余维数是一的Turing分支、Hopf分支，以及如上所列的一些余维数为二的分支，甚至某些余维数是三的分支构成。精确地刻画了常值平衡解失稳的全部方式，并由此预期将有哪些新形态解产生并收获稳定性。利用中心流形理论和规范型方法推导了分支发生时所对应的三次截断规范型，给出了规范型的系数直接用系统原参数表达的显式的普遍适用的计算公式；对三次截断规范型进行了动力学分析，实现了上述分支的开折分类并揭示出一些新的时空模式。.从理论上证明了时滞、非局部、自扩散和交叉扩散等因素对反应扩散系统的模式形成的影响是本质的。比如，记忆扩散和时滞导致稳定的空间不均匀周期轨通过Hopf分支出现，两个不同空间波频的双稳的空间非齐次周期轨通过Turing-Hopf分支出现；非局部作用导致空间非齐次的周期和拟周期轨以及具有两个空间波频的周期轨由不稳定变成稳定；Hopf-Hopf分支和Bogdanov-Takens分支可以出现在第一分支临界线上；系统也可以具有兼有时间和空间不均匀的三稳甚至四稳模式，等等。.本项目在Journal of Differential Equations等重要的SCI期刊上发表研究论文19篇。本项目关于高余维分支的研究结果为理论上证明一些新的有空间异质性和时间多周期性的解的存在性和稳定性提供了一种可行的研究途径，充实和丰富了微分方程和动力系统研究的理论和方法。