完全非线性函数的构造与应用研究

The research of perfect nonlinear functions is one of the frontier fields of cryptographic functions. They have extensive and important applications in finite geometry, algebra, combinatorics and communication. In this project, we will study the constructions and applications of perfect nonlinear functions by making fully use of the related theories and methods of finite fields and computer numerical calculation. The main topics of this project we will cover are as follows.. Firstly, we will construct new perfect nonlinear functions and give their classification. Some new quadratic or nonquadratic perfect nonlinear functions will be constructed by the methods of computer searching, function cascading and so on. Secondly, we will show the links between perfect nonlinear functions and mathematical structures such as affine planes, hyperovals, semifields, permutation polynomials, difference sets and so on. Some new mathematical structures or new perfect nonlinear functions will be constructed by using the properties of finite groups and the theories of translation groups. Finally, we will present the cryptographic proerties of the new perfect nonlinear functions and design some new cyclic codes, sequences, secret sharing schemes, boolean functions with better performances by using mathematical tools such as additive characters, exponential sums, linear transformations and so on. The results we obtain will provide a theoretic support for applications of perfect nonliear functions to mathematical theory and communication.

完全非线性函数是密码函数研究的前沿领域，它在有限几何、代数、组合以及通信领域中均有广泛而重要的应用。本项目充分应用有限域的有关理论和方法，并借助计算机数值计算来研究完全非线性函数的构造与应用。重点研究以下几个方面的问题：研究奇特征域中完全非线性函数的构造与分类，利用计算机搜索、函数级联等方法构造出新的二次或非二次完全非线性函数；研究完全非线性函数与仿射平面、超椭圆曲线、半域、置换多项式、差集等数学结构之间的联系，利用有限群的性质和平移群的理论构造出新的数学结构或新的完全非线性函数；研究完全非线性函数的密码性能，利用加法特征、指数和、线性变换等数学工具设计出更优性能的循环码、序列、秘密共享方案、布尔函数等；所得研究成果将为探索完全非线性函数在数学理论和通信领域中的应用提供理论依据。

完全非线性函数是代数组合学和密码学中非常重要的一类研究对象，它在代数、组合以及编码密码设计中均有重要的应用。本项目对完全非线性函数的构造与应用进行了研究，主要研究内容包括：有限域上完全非线性函数的构造与分类；完全非线性函数与仿射平面、半域、置换多项式等数学结构之间的联系；完全非线性函数在密码算法设计以及编码设计中的应用。本项目的主要研究结果是：提出一类完全非线性函数，分析了它的存在性与等价性；给出奇特征有限域上几乎完全非线性函数的两种系统构造方法；利用分段置换和子域取值多项式分别构造出新的置换；采用局部修改法设计出具有高非线性度和代数次数的4差分置换；介绍了零差分平衡函数的分圆构造及其应用。上述研究成果促进了数学理论的发展，解决了密码算法设计中密码函数的构造问题，具有较高的理论意义和实用价值。