密码函数的差分性质及其应用研究

Differential uniformity is a security index of cryptographic functions, which measures the resistance capability of differential cryptanalysis. It is an important evaluation index in the design of cryptographic algorithm. . To solve the hot topic on the differential properties of cryptographic functions with applications, the proposal plans to gradually study the constuctions and classifications of non-quadratic perfect nonlinear functions, almost perfect nonlinear functions, differentially 4-uniform permutations, power functions with low differential uniformity and zero-difference balanced functions on finite fields and vector spaces by making full use of the related theories and methods of finite fields and the methods of computer searching, swithing, cascading, piecewise functions and so on. According to the resulted new functions, we will construct some new projective planes, difference sets, semifields, cyclic codes, cryptographic algorithms and so on by using mathematical tools such as finite groops, exponential sums, characters, linear transformations and so on.. In this project, we will explore the construction problems of cryptographic functions with several good cryptographic properties. Then we will show the links between cryptographic functions and mathematical structures. Finally, we will present the important applications of cryptographic functions in the design of ciphers and codes. The results we obtain will provide a theoretic support for the development and applications of cryptographic functions.

差分均匀度是衡量密码函数抵抗差分密码攻击能力的安全性指标，是密码算法设计的重要评估指标。针对密码函数的差分性质及其应用这一热点问题，本项目计划以计算机搜索、交换构造法、级联方法、分段函数法等为基本方法，充分运用有限域的有关理论与工具，依次递进的研究有限域和向量空间中的非二次完全非线性函数、几乎完全非线性函数、4差分置换、低差分均匀度幂函数和零差分平衡函数的构造与分类，并根据构造所得的新函数，利用有限群、指数和、特征、线性变换等数学工具设计出新的投射平面、差集、半域、循环码和密码算法等。通过本项目的研究，探索同时具有多种良好密码性质的密码函数的构造问题，刻画密码函数与数学对象之间的对应关系，揭示密码函数在密码算法设计和编码设计中的重要应用，为密码函数的发展及应用提供理论依据。

具有特定差分性质的函数在密码学、代数学、编码理论、组合设计等领域均有广泛而又重要的应用。本项目对密码函数的差分性质及其应用进行了研究，主要研究内容包括：有限域上具有特定形式的置换多项式的构造方法和判定条件；有限域上密码函数的差分均匀度、零差分平衡性和差分谱；低差分密码函数在编码设计中的应用；差分均匀度和回旋棒均匀度之间的联系；具有低差分均匀度和回旋棒均匀度的密码置换的设计与应用。本项目的主要研究结果是：确定了有限域上具体形式的多项式的置换性质；给出了有限域上一些置换多项式的构造和证明；构造了有限域上三类新的广义几乎完全非线性幂函数；研究了环上具有任意长度的常循环码及其对偶码；提出了六类新的最优三元循环码；设计了一种基于对称密码的群组密钥协商方法；刻画了有限域中某些幂置换的回旋棒均匀度。项目组已发表24篇学术论文，其中SCI收录16篇，EI收录1篇。出版学术专著1部，申报专利1项，登记软件著作权1项，获得河南省自然科学优秀学术论文二等奖1项。上述研究成果解决了有限域上置换多项式的若干问题和猜想，提出了设计密码函数、循环码的新方法和工具，确定了有限域上一些多项式函数的密码学性质，促进了密码函数的研究与应用。