偏微分方程中的等周不等式及其相关问题的研究

Isoperimetric problem is very important in the development of mathematics. This problem is arised in geometry at first and so far can be seen in many mathematical branches. In this program, we will study isoperimetric problem in partial differential equations. Emphasis is posed on the isoperimetric estimate of lower and upper bound for the first eigenvalue of k-Hessian operator and isoperimetric estimate of integral norm for the first eigenfunction of k-Hessian operator. Emphasis is also posed on important problems, such as Brunn-Minkowski inequality for the first eignvalue, regularity of the optimal shape and symmetry of overdetermind problem, arised in the study of isoperimetric estimate for the first eigenvalue and for the integral norm of the first eigenfunction. Since the Schwarz symmetrization method which works well in the study of linear and quasilinear problem is not applicable in the study of fully nonlinear problem, we use variational method to estimate the lower bound of the first eigenvlue of k-Hessian operator. This approach needs a deep study of the regularity of the optimal shape and the symmetry of an overdetermind problem. Also, to overcome the difficult that the Schwarz symmetrization method is not applicable, we estimate the upper bound of the first eigenvlue of k-Hessian operator by making use of the Brunn-Minkowski inequality for the first eignvalue. This approach is an innovation of our program, and can be used to find much more new isoperimetric estimate in partial differential equations.

等周问题在数学的发展中具有很重要的地位。该问题最早起源于几何，目前已散见于数学的许多分支。本项目研究偏微分方程中的等周问题，特别关注k-Hessian 算子Dirichlet第一特征值上、下界的等周估计和第一特征函数积分模的等周估计等等。同时，还关注在研究上述估计时派生出来的一些重要问题，如：第一特征值的Brunn-Minkowski不等式、最优形状的光滑性以及超定问题的对称性等等。因为在处理线性和拟线性问题中行之有效的Schwarz对称化方法不能应用于完全非线性问题,我们采用变分方法来估计k-Hessian 算子特征值的下界。这一方法要求对最优形状的光滑性和超定问题的对称性进行深入的研究。同样，为了克服Schwarz对称化方法不能应用的困难，我们将运用第一特征值的Brunn-Minkowski不等式来导出特征值的上界估计。这一方法是本项目的独创，可用于发现偏微分方程中更多的等周估计。

本项目的主要研究内容包括偏微分方程中的等周不等式及相关问题，曲率测度和微分算子的弱连续性，发展方程的整体可解性和爆破现象，以及双曲空间上的半线性椭圆方程的正解及其相关性态。本项目证明了次线性和p-次线性椭圆方程正解的积分模的一些等周不等式，解决了k-Hessian算子主特征值在具有固定平均宽度的区域上的等周问题，导出了k-Hessian算子主特征值的变分公式，给出了新的k-曲率测度的定义，并证明了k-曲率算子的弱连续性，证明了一类粘弹性模型的适定性，并给出了整体解的指数衰减估计，对经典的抛物Lane-Emden方程组的正解给出了整体存在和爆破现象的门槛结果。在双曲空间上的半线性椭圆方程的研究中证明了Lane-Emden方程组的正解的存在性，并以实例说明了区域的拓扑性质对解的存在性和解的个数的影响。该项目共完成论文16篇，其中有11篇已发表于《Adv. Math.》、《J. Differential Equations》、《ZAMP》等著名学术期刊上。