广义相对论中关于质量及等周不等式问题的研究

The energy momentum of the gravitational field has always been a core research topic in the general relativity theory. In particular, the positive mass theorem and the Penrose inequality have attracted a great deal of interest of mathematicians and physicists. The research contents of this project are mainly focused on the mass, Isoperimetric Inequality, renormalized volume and the relationship between them. . (1) Regarding the asymptotic behavior of isoperimetric regions and the asymptotic geometric properties of isoperimetric surfaces of three dimensional asymptotically hyperbolic manifolds, so as to study the relationship between mass, Isoperimetric Inequality and renormalized volume . . (2) Weighted the uniqueness of isoperimetric surface in three dimensional asymptotically hyperbolic manifolds. Is the stable constant curvature surface introduced by Professor Tian Gang and A. Neves in [NT2] as an isoperimetric surface? Is it a unique isoperimetric surface? . (3) Study the limit problem of quasi-local mass along some sequence of isope -rimetric surfaces on asymptotically hyperbolic manifolds.. This project will help us to deepen the understanding of the positive mass theorems and Penrose inequalities for the asymptotically hyperbolic manifolds.

一直以来，广义相对论中的一个核心研究课题是引力场的能量动量问题。特别的，其中的正质量定理以及Penrose不等式一直吸引大量数学家和物理学家的兴趣。本项目的研究内容主要围绕一般的三维渐近双曲流形上质量，等周不等式，相对体积及它们之间的相互影响关系，拟研究如下问题：.（1）三维渐近双曲流形上一列等周区域的渐近行为以及相应等周曲面渐近几何性质，从而研究质量，等周不等式，相对体积之间的关系。.（2）三维渐近双曲流形上等周曲面的唯一性问题。探讨田刚教授和A. Neves在[NT2]中引入的稳定的常中曲率曲面是否是等周曲面?是否是唯一的等周曲面？.（3）三维渐近双曲流形上构成穷竭的等周区域列相应等周曲面列上的拟局部质量的极限问题。. 本项目将有助于我们加深对渐近双曲流形的正质量定理和Penrose不等式的理解。

该项目主要研究了两方面的内容。.一方面广义相对论中的一个核心研究课题是引力场的能量动量问题。特别的，其中的正质量定理以及Penrose不等式一直吸引大量数学家和物理学家的兴趣。本项目研究了渐近双曲流形上一列等周区域的渐近行为以及相应等周曲面渐近几何性质，从而研究质量，等周不等式，相对体积之间的关系。但是这部分研究在执行过程中遇到了困难，取得了部分成果，对共形紧Einstein流形得到比之前更广条件下的刚性定理。.另一方面近年来，深度学习的发展非常迅速，计算机视觉也经历了爆发式的发展。神经网络理论的发展已经证明，作为几何图形的应用几何模型区域的分离是计算机视觉领域最基本的算法，而且是一种非常有效的方法。本项目的第二方面本正是研究有效区域几何模型分离算法的应用，以及相机的方法是基于对图像本身特征的学习这一理论实质。首先对神经网络的理论知识进行了概括性的描述，然后提出了一种基于神经网络模型的图像分割方法，结合两种基于时间的编码策略来分离图像的第一个峰值，详细分析了接收场大小、阈值电位、分割界限等参数对分割结果的影响，最后通过设计区域分割实验对算法进行了简化。实验结果表明，区域分割简化算法通过引入多光谱，可以有效提高整体区间效率，从特征中减去不同方向的特征和适当的低范围特征，有效地提高了小目标的粉碎效果。同时，设计了一种移动端的快速分割算法，为素材移植提供了实践指导，从结果可以看出，引入多光谱后整体区间效率有很大提高，约为15.3%。