偏微分方程中几个问题的研究

本项目研究偏微分方程中的两类重要问题.一类是特征值问题;一类是椭圆算子的弱连续性问题,这类问题与位势理论有密切关系.关于特征值问题我们主要探讨线性算子、拟线性算子和完全非线性算子的Faber-Krahn不等式,第二和第一特征值的差、商估计以及高阶特征值的估计.使用的方法主要有变分表示加检验函数、曲率流、梯度估计以及对称化等方法。关于椭圆算子的弱连续性我们主要研究k- 曲率算子和k-共形曲率算子的弱连续性并在此基础上建立起相应的位势估计,包括下函数的拟连续性、基本解的渐近行为、奇点的可去性、边界点正则的Wiener-判别准则以及Wolff-位势估计等等。拟采用的方法有算子的单调性、调和提升、解的正则性估计以及Harnack不等式等。本项目的研究内容在偏微分方程的研究中具有基本的重要性，因此，研究成果对推动偏微分方程的发展具有重要的理论意义。同时，问题的难度要求对研究方法或技巧有高度的创新。

本项目主要研究k-曲率方程、椭圆方程的特征值问题、抛物型方程的门槛现象、以及半线性椭圆方程的边值问题等，得到了一些很有意义的结果，在《J. Eur. Math. Soc.》、《Nonlinear Anal. TMA》、《P. Roy. Soc.Edinb. A》、《Acta. Math. Appl. Sin-E》等国内外著名学术期刊发表论文20篇。主要成果有：证明了椭圆算子的特征值的一些等周估计，部分解决了A.Henrot提出的一个开问题；给出了广义平均曲率方程正解的先验估计和存在性结果；发现了研究抛物方程门槛现象的一种新方法，由此证明了半线性抛物方程组的门槛结果；给出了一类四阶非线性特征值问题的解集结构及相关性质，部分解决了［Math. Ann. 348, No 1,(2010) 143-193］中提出的一个公开问题。.此外，项目组成员还研究了一些生物数学模型解的存在性、稳定性及分叉现象，获得的结果发表于《Nonlinear Anal. RWA》、《Acta Math.Sci》等著名学术期刊。