图像分析变分模型的各向异性自适应有限元方法计算

This project is aimed at developing new computation methods for mathematical models involved in image denoising and image segmentation. The main tool we use is finite element method with an anisotropic mesh adaptation strategy. We currently focus on two model problems, the Rudin-Osher-Fatemi image denoising model and the PDE form of the Malik-Shi Normalized-Cut model. These models are of fundamental importance and are extensively used in computer vision and image processing. In this proposal we plan to introduce new ideas in numerical analysis to control the error of the finite element solutions for these PDE and variational models. These ideas will enrich and extend the established theory of anisotropic moving mesh to new frontiers. Moreover, with the introduction of finite element method to these problems, we can develop highly efficient computation methods based on anisotropic mesh adaptation that, compared to methods on uniform mesh, can save computation cost by orders of magnitude.

本项目研究计算图像去噪和分割模型的各向异性自适应移动网格方法。我们当前集中研究两个基础模型:Rudin-Osher-Fatemi模型和Malik-Shi图像分割模型的求解。 此二模型是计算机视觉和图像处理中的经典模型，有广泛的应用。其有限元数值解研究是新的研究方向。本项目利用近年来全变差极小化模型BV函数解的数值分析以及Malik-Shi模型PDE 形式方面研究的新进展，针对这些模型引入各向异性网格计算方法。我们将发展对BV函数的自适应移动网格上数值分析的思想。对已有的移动自适应网格数值分析理论做出新的扩展。在图像分割问题上，我们将重点研究高阶有限元对Malik-Shi模型对应连续PDE的计算，解决低阶元的低精度和产生非物理解的问题。我们将利用网格自适应的思想开发相应模型的高精度计算方法，并比传统均匀网格带来计算效率上本质的提高。

本项目研究了Galerkin-Ritz方法在Rudin-Osher-Fatemi图像降噪模型中的.应用。我们在双变样条函数(bivariate spline function)有限元的基础上.构造逼近空间，网格采用三角形网格。..我们首先广泛研究了Lipschitz区域上有界变差函数的延拓性质。利用这些.性质，我们构造了TV-L2能量泛函的双变样条函数极连续极小化子序列。.这些样条函数允许取任意次数。我们首先证明了ROF有限元解的存在性，并进.一步给出了有限元解的误差分析。..我们提出了一个新的迭代算法，用以计算能量泛函的样条极小.化子，我们证明了此算法的收敛性，并在实际图像数据上验证了算法。我们.将该有限元方法应用在降噪，放缩和分割三个图像处理问题上，并检验了.自适应网格在有限元计算中的应用。实验结果符合理论的分析。..本项研究第二部分建立了时间相关的total variation flow偏微分方程的.离散弱解的收敛性，提出了一个有限差分格式以求解数值解，并.导出了迭代求解算法，最后我们证明了迭代算法的收敛性。