反散射方法在可积无色散系统中的应用

The IST (Inverse Scattering Transform) method is a powerful method to investigate classes of integrable nonlinear PDEs (Partial Differential Equations). The main objective of this project is to study an important class of integrable PDEs: PDEs of hydrodynamic type (often called dispersionless PDEs) in multi-dimensions. We will concentrate on the following problems: 1) investigation of the quasi-classical (dispersionless) limits for integrable systems, construction of the corresponding Lax pairs and integrable hierarchies; 2) construction of the direct and inverse problems by the Lax pairs; 3) construction of the nonlinear Riemann-Hilbert inverse problems and investigation of the long-time behavior of solutions; 4) construction of some reductions and explicit solutions for these systems; 5) if the dynamics give rise to wave breaking, study analytically the nature of such wave breaking and identify the type of singularities. This proposed research will enrich the theory of integrable systems， particularly it will promote the study of the IST (Inverse Scattering Transform) method. Since the great significance in theoretical physics, results from this proposed research will provide a mathematical foundation for the future studies and provide some ties between integrable systems and theoretical physics.

反散射方法是求解研究非线性可积偏微分方程重要数学方法。本项目主要利用反散射方法研究一类重要的可积偏微分方程：高维流体力学型的偏微分方程（又称为无色散的偏微分方程）。具体关注以下问题： 1）研究可积系统的半经典化（无色散化），构造相应的Lax对和可积系列; 2） 通过相对应的Lax对建立正问题和反问题； 3）构造关于这些系统的非线性Riemann-Hilbert反问题，研究解的长时间演化性质； 4）构造这些系统的某些约化和精确解； 5）如果这些动力学系统产生碎波，研究碎波的性质并且对奇点进行分类。这些研究结果可以丰富可积系统的理论框架，尤其是加深对反散射方法的理解。由于拟研究系统在理论物理中的重要应用，本项目的结果将为这些系统将来的研究提供数学基础，同时也为可积系统与理论物理之间提供新的联系。

计划执行期间，我们主要完成了以下工作：.1，.研究了半经典化的Davey-Stewartson系统。我们详细说明了dDS (dispersionless Davey-Stewartson)系统这种类型的流体力学型无色散可积系统，等价于单参数向量场形式的Lax对的对合条件。同时，我们建立了与dDS-II系统相关的具有某种对称性质的非线性Riemann-Hilbert问题。这种Riemann-Hilbert问题是我们利用Manakov和Santini提出的反散射方法研究dDS-II系统的关键。.2，.我们定义了与dDS系统相关的一类新的可积方程族，具体来说，这是无穷多个相容的偏微分方程。我们指出，这一新的方程族等价于一类特殊单参数Hamiltonian向量场的对合条件。.3，.通过研究一类可解的常微分方程组，建立了两种新的可解的等时系统，并且我们研究了这两种新系统的平衡点问题。