具有高阶奇点的反散射方法在可积系统中的应用

In the integrable system, the inverse scattering method (ISM) is a powerful tool to solve solutions, and it is usually used to solve the soliton solution and the breather solution. Under the zero boundary and nonzero boundary conditions, this project plans to consider how to solve the solutions of the nonlinear integrable equations by applying ISM when the reflection coefficient has finite higher order poles. With regard to ISM, the poles of reflection coefficient give rise to the solutions of the nonlinear integrable equations. If the reflection coefficient has higher order poles, the bound state solutions will be generated, including the bound state soliton solution and breather solution. This project firstly considers how to solve the Gelfand--Levitan—Marchenko integral equation and the Riemann--Hilbert problem in the scalar system by taking examples of the AKNS, KN and WKI systems, and then solves bound state solutions of the nonlinear integrable equations and studies asymptotic properties of these solutions. Finally, we develop this method into the vector systems.

在可积系统中，反散射方法是一种强有力的求解工具，它常常被用来求解非线性可积方程的孤立子解和呼吸子解。本项目计划，在消失边界和非消失边界条件下，研究当反射系数具有有限多个高阶奇点时反散射方法的求解方法。在反散射方法中，反射系数的奇点对应于非线性可积方程的解。当反射系数具有高阶奇点时，利用反散射方法可以得到束缚态的孤立子解和呼吸子解。 以AKNS,KN和WKI三个系统为例，本项目首先从单分量系统出发，研究当反射系数具有有限多个高阶奇点时Gelfand--Levitan—Marchenko积分方程和Riemann--Hilbert问题的求解；然后求解这三个系统的束缚态解，并研究解的渐近行为；最后将此方法推广到多分量系统。

在非线性科学中，反散射变换是一种十分有效的求解非线性可积方程的方法。在消失边界和非消失边界条件下，本项目研究了如何求解具有高阶奇点的Riemann-Hilbert问题，研究了如何求解具有高阶奇点的Gelfand-Levitan-Marchenko积分方程。随后我们将这两种方法应用到WKI方程，得到了WKI方程的多重高阶孤立子解，并研究了WKI方程的loop怪波解；应用到了修正KdV方程，得到了修正KdV方程的多重高阶孤立子解； 应用到了非线性薛定谔方程，得到了非线性薛定谔方程的多重高阶孤立子解，严格地证明了该解的解析性质，并研究了束缚态孤立子解的渐近轨迹；应用到了short pulse方程，得到了short pulse方程的多重高阶孤立子解。